Оценки эквивалентных коэффициентов теплопроводности фуллерена. . .
оболочкой, состоящей из круговой цилиндрической и двух полусфе-
рических частей, следует считать, что в любом направлении, касатель-
ном к срединной поверхности этой оболочки, коэффициент теплопро-
водности сохраняет значение
l
0
. Но при условной замене нанотрубки
сплошным круговым цилиндром эквивалентные коэффициенты теп-
лопроводности в осевом направлении и в любом направлении, пер-
пендикулярном оси, будут различны, т. е. материал такого цилиндра
будет обладать цилиндрической ортотропией по отношению к свой-
ству теплопроводности. Обозначим эти коэффициенты соответствен-
но
l
‖
и
l
⊥
. Длину рассматриваемой нанотрубки будем считать на-
столько больше ее внешнего радиуса, что влиянием полусферических
частей оболочки на значения
l
‖
и
l
⊥
допустимо пренебречь.
Последовательно построим математические модели переноса теп-
ловой энергии теплопроводностью применительно к фуллерену и од-
нослойной углеродной нанотрубке.
Математические модели.
Пусть сферическая оболочка, модели-
рующая форму фуллерена, по своей внешней поверхности контакти-
рует с изотропной однородной средой, занимающей неограниченную
область и соответствующей материалу матрицы композита, имеюще-
му коэффициент теплопроводности
l
. Установившееся распределение
температуры в окружающей оболочку среде удовлетворяет уравне-
нию Лапласа, которое в сферической системе координат с началом
в центре сферической оболочки имеет вид
1
2
(︁
2
)︁
+
1
2
sin
j j
(︁
sin
j
j
)︁
+
1
2
sin
2
j
2
3
2
= 0
,
(1)
где и
j
,
3
— соответственно радиальная координата и угловые ко-
ординаты в меридиональном и окружном направлениях. Примем, что
на большом по сравнению с радиусом
*
расстоянии от начала ко-
ординат задан вектор градиента температурного поля в окружающей
среде, направленный по оси сферической системы координат, от ко-
торой отсчитывается угловая координата
j
, т. е. при значении
→ ∞
распределение температуры в этой среде описывается функцией
∞
(
,
j
) = cos
j
, где — модуль вектора градиента. Несложно
проверить, что эта функция удовлетворяет уравнению (1), причем
благодаря коллинеарности заданного вектора градиента температур-
ного поля оси отсчета угловой координаты
j
распределение темпе-
ратуры симметрично относительно этой оси и не зависит от угловой
координаты
3
, т. е.
2
/
3
2
≡
0
.
Наличие сферической оболочки приведет при конечных значениях
к возмущению температурного поля в окружающей среде, описыва-
емому слагаемым
(
*
/
2
) cos
j
[6], также удовлетворяющим уравне-
нию (1). Таким образом, установившееся распределение температуры
3
