Page 7 - Разбиения семейства матриц Адамара

ISSN 2305-5626. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана: электронное издание. 2013 7
Конечно, инверсии в 4-м и 5-м разрядах (в общем случае это
n/2 − 2 разряда) можно назвать инверсиями. Однако эти инверсии от-
личны от инверсий n/2−1. Инверсии в n/2 − 2 влекут перестановки
столбцов в матрице, в общем случае, на всех разрядах, кроме трех
старших. Инверсии в n/2 − 2 не влекут изменение столбцового набора
1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ (5 + 4 + 1) ⋅ 8 = 480 матриц 8-го порядка (без строч-
но-инверсных, без строчно-перестановочных). Этот набор столбцов
0, 15, 51, 60 , 85, 90 , 102 , 105 , т. е. всего 8 + 4 инвертируемых (черта
сверху), составляет 12 столбцов. Кроме того, ортогональные допол-
нения 2 и 3, соответственно влекущие за собой перестановку послед-
них двух и трех столбцов, одинаково разбивают все 480 матриц се-
мейства, как и 8 столбцовых инверсий, т. е. можно исключить из 480
матриц 8 ⋅ 2 ⋅ 3 = 48 одинаковых разбиений и анализировать только
разбиения (5 + 4 + 1), каждое из которых одинаково для своего коли-
чества матриц. Это при том, что все вместе (5 + 4 + 1) ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 8 мат-
риц разбивают все семейство 28 ⋅ 8! ⋅ 480 = 495 452 600. Далее вели-
чины 5, 4, 1 убывают по мере роста двоичного числа (00), (01), (10)
— это следствие, с одной стороны, постоянства разбиения семейства
строками, из которых оно формируется, с другой стороны, возраста-
ние указанной величины уменьшает количество используемых строк
для формирования семейства. Кроме того, максимальное значение
2n⁄2−2 исключит возможность формирования n/4 − 1 строк первой чет-
верти строк матрицы порядка n = 8.
Таблица 4
Компактная запись семейства n = 8
Примечание . Столбцовые инверсии 8 = (2 3); 5(00), 4(01), 1(10) —
изменение числа столбцовых перестановок от значения в 4-м и 5-м разря-
дах и, одновременно, количество ортогональных дополнений в матрице на
этой строке.
На сегодня возможно построение столбцово-перестановочного
семейства как всего, так и для каждого конкретного его значения
среди 2 n⁄2−2 алгоритмическим путем.
Для исключения столбцово-перестановочного семейства из-за
инверсий на n/2 − 2 столбцах требуется выполнить две операции:
во-первых, исключить столбцовые инверсии и на n /2 – 1, и на
n /2 − 2 разрядах аналогично исключению строчных инверсий, т. е.
обнулить значения всей первой строки матрицы. Во-вторых, даже