Page 12 - Разбиения семейства матриц Адамара

ISSN 2305-5626. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана: электронное издание. 2013

12

Эта модель включает в явном виде четыре семейства: строчно-

инверсные, строчно-перестановочные, столбцово-инверсные, столб-

цово-перестановочные для включения в нее новых столбцовых набо-

ров, последние могут быть либо просто перечислены, либо заданы

одним из них вместе с алгоритмом формирования других столбцовых

наборов.

Использование данной модели на конкретном порядке будет

проще и эффективнее вместе с компактной записью соответствующе-

го семейства, поскольку в компактной записи отражены еще и орто-

гональные дополнения и их влияние на формируемую матрицу, по-

мимо отраженных в модели «внешних» инверсий и перестановок

строк и столбцов.

Предложенная модель не единственно возможная.

Свойства разбиений семейства матриц Адамара.

Разбиения

семейства матриц Адамара возможны по строчным и столбцовым

инверсиям и по строчным перестановкам как равномощным.

Разбиение семейства матриц Адамара по всем столбцовым пе-

рестановкам равномощно и обеспечивает возможность равномощ-

ного разбиения по отдельным перестановочным семействам, хотя

сами перестановочные семейства относительно друг друга нерав-

номощны.

Полное семейство матриц Адамара разбивается на семейства

матриц, содержащих любую заданную строку. Это же разбиение

справедливо и для 2

n

−1

неинверсных строк (в общем случае, а не

только с нулями в старшем разряде). Это легко показать и доказать

для любого порядка, если использовать свойство сохранения ортого-

нальности матрицей Адамара при перестановке и/или инверсии од-

ноименных разрядов всех образующих ее строк, т. е. столбцов.

Из компактных записей семейств видно, что равномощные раз-

биения семейств матриц Адамара справедливы как для отдельных

строк, так и для их наборов. Равномощные ортогональные дополне-

ния на наборах строк по всему семейству (1 1 1 2 1 3 — 8, 1 1 1 1 1 2

1 4 9 — 32, и т. д.).

Равномощными будут являться и разбиения 2

n

−1

исходных строк

на четыре части, в которых только и могут формироваться соответ-

ствующие части строк матрицы Адамара, так как в принятых условиях

и ограничениях первые три столбца постоянны для любого порядка.

Образуемые ими строки соответствующих матриц должны соответ-

ственно состоять из трех старших разрядов 000 для первой четверти

строк, 001 — для второй, 010 — для третей, 011 — для четвертой.

Выбор и использование конкретного разбиения определяются

решаемой задачей. Выбор разнообразен и эффективен, существенно

сокращается объем вычислений, становится достижимым само реше-

ние задачи.

Алгоритм поиска числа «перестановок столбцов», кроме прочего,

может быть определен по его значению для нулевой строки и в

n

⁄2−2