Page 6 - Разбиения семейства матриц Адамара

ISSN 2305-5626. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана: электронное издание. 2013 6
которой только и могут формироваться первые n/4 строки матрицы, в
свою очередь, разбивается на 2n⁄2−1 по столбцовым инверсиям. В
остатке имеем 2n−3−(n⁄2−1) = 2n⁄2−2 разрядов. Исключение столбцово-
инверсного семейства легко осуществить, задав нулевые значения
n/2 − 1 младшим разрядам, а учесть наличие столбцово-инверсного
семейства можно коэффициентом 2n⁄2−1. При этих ограничениях не
формируется 2n строчно-инверсных, n! строчно-перестановочных и
2n⁄2−1столбцово-инверсных матриц.
Таблица 3
Матрица Адамара построчного формирования
Формируя и анализируя семейства 8, 12, 16, …, n-го порядков из
2n−1 исходных неинверсных в естественном порядке строк с нулевы-
ми тремя старшими и n/2 − 1 младшими разрядами в первой строке,
имеем 60 матриц для 8-го порядка. В этих матрицах три столбца сле-
ва описанного выше типа. Эти 60 матриц могут быть разбиты на три
столбцово-перестановочных семейства, согласно значениям старших
разрядов n/2 − 2 средних столбцов: 0, ..., 29(00) 30, ..., 53(01) и 54, ...,
59(10) (в скобках даны значения двух средних разрядов) значение
(10) соответствует последней матрице, которая может быть сформи-
рована полностью. Значение (11) не формирует ни одной матрицы.
Иными словами, n/2 − 2 средних разрядов не используются полно-
стью, а ограничиваются условием формируемости последней матри-
цы, а не конечным значением 2n⁄2−2, которое могли бы принять эти
средние разряды 4 и 5. Общее количество таких матриц в компактной
форме приведено в табл. 4. Ортогональное дополнение — набор
строк, дополняющий все имеющиеся верхние строки до полной мат-
рицы Адамара. Ортогональные дополнения являются индикаторами
изменения свойств матрицы, например перестановки ее столбцов,
или изменения столбцового набора в ней.