Стр. 8 - Электрогазодинамическая модель линейного атмосферного разряда

8 ISSN 2305-5626. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана: электронное издание. 2013
Рис. 2. Фазовая траектория системы Y( ρ)
Рассмотрим первое уравнение системы (4) в предположении ну-
левой плотности заряда противоположного знака и выясним, к чему
приводит данное предположение. В дальнейшем мы откажемся от
этого упрощения. Входящие в уравнение функции плотности и
напряженности поля в автомодельном приближении будем считать
зависящими от переменной ζ= ξ– V τ. Тогда первое уравнение си-
стемы (4) после однократного интегрирования по переменной ξи ис-
ключения скорости может быть записано в виде
2
0, dy dy
A B C
d d
⎛ ⎞ + + =
⎜ ⎟ ⎝ ⎠ζ ζ (7)
где
( )
( )
2
0
2
0 2 0 1 1 2
0 0 0 0
2
1 0
;
4
4 4 4
/ 2 ( ) ( ) ;
4
( ) .
A
V
B y y V y c c c
C c
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − + − − − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
=
ε
π
ε π τ π
τ ζ τ
π ε ε τ ν ε
τ τ ν
Точное решение уравнения (7) может быть получено при усло-
вии, что начальные значения плотности, скорости потока на границе
удовлетворяют условию
0
0 0 . y u
τ τ
ρ τ =
∂
=
∂
Тогда
( )
0 ( ) th , y y V d d c ζ ζ ⎡ ⎤ = − − ⋅ + ⎣⎦ (8)
где 1/2
2
0 2 ( ) . d V y c⎡ ⎤ = − −⎣ ⎦
Функция ( )y ζ описывает движение доменной стенки поля со
скоростью V, причем амплитуда поля зависит от скорости V.
Константа с 2( τ) получена при интегрировании уравнения непре-
рывности по переменной ξ:
2 0 0 0 ( ) ( ), c u V = − τ ρ τ ν
где ρ0 = ρ( τ, 0) — значение плотности на границе облака и окружа-
ющей среды, отнесенное к начальной плотности; u0 = υ/ ( νl) —