Стр. 6 - Электрогазодинамическая модель линейного атмосферного разряда

6 ISSN 2305-5626. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана: электронное издание. 2013
В первом уравнении левая часть представляет собой производ-
ную ∂ ξ/ ∂ τ, взятую при постоянном значении ρ, и поскольку в дан-
ной системе значение ρ( ξ, τ) однозначно определяет y( ξ, τ), то, под-
ставляя значение правой части во второе уравнение, получаем
0
0
. u j ∂ ∂=
∂ ∂
ρ
τ ν ξ ξ
Отсюда находим связь 0 . j u C= + ′ ρ Если теперь подставить
найденное соотношение в первое уравнение (5), получим уравнение
0 , u ∂ ∂
=
∂ ∂
ρ ρ
τ ξ
которое описывает волну плотности, распространяющуюся со скоро-
стью u1 в положительном направлении оси х , не изменяя своей фор-
мы. Полагая, что все искомые величины зависят, например, от плот-
ности, получим зависимости вида 0 0 0 ( ), ( ), ( ). u y u j u − − − ρ ξ τ ξ τ ξ τ
Следовательно, при решении систем (3), (4) можем использовать ав-
томодельное приближение, при котором возмущение плотности, поля
или тока движется в пространстве, не меняя своей формы.
Тем не менее точное решение уравнений (5) можно найти и без
автомодельного приближения. Полагая неравновесное возмущение
плотности распределенным в пространстве по нормальному закону,
случайным образом выбираем начальные условия для плотности в
виде
20
2
( )
2
0 (0, ) e .
x x
a x
−
−
= + ρ ρ
Решение системы (5) имеет вид
20
2
( )
2
0
2 1
( , ) e ;
2 2
( , ) e e .
ab
ab
a
y ab Erf Erf
a a
−
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= +
τ
ξ ξ
τ
ξ
ξ τ
π
ρ ξ τ ρ
Соответствующие зависимости приведены на рис. 1, на рис. 2 пока-
зана фазовая траектория системы.
Как видно на рис. 1, a, напряженность поля возрастает в местах
обеднения заряда и с течением времени резко возрастает по мере
увеличения амплитуды неравновесной плотности заряда. Образуемая
при этом доменная стенка поля движется со скоростью u вдоль
направления распространения волны. Дальнейшая эволюция потока
должна описываться с учетом включения в рассмотрение первого
уравнения системы (4).