Тогда соотношение (6) принимает вид
σ
ij
=
μ
ijkl
ε
kl
+
μ
ijklmn
ε
kl
ε
mn
+
μ
ijklmnpq
ε
kl
ε
mn
ε
pq
+
. . . .
(7)
Для тензоров, входящих в (7), справедлива симметрия по индексам:
i
↔
j, k
↔
l, m
↔
n, p
↔
q, . . . .
(8)
Это является следствием того, что тензоры деформаций и напряжений
симметричные.
Очевидно, что тензоры
μ
ijkl
,
μ
ijklmn
,
μ
ijklmnpq
. . .
инвариантны
(индиферентны по терминологии [7] ) относительно преобразований
группы
G
п
, т.е. если ортогональное преобразование с матрицей
М
ij
является элементом группы
G
п
, то выполняются соотношения:
μ
i
1
i
2
i
3
i
4
=
M
i
1
j
1
M
i
2
j
2
M
i
3
j
3
M
i
4
j
4
μ
j
1
j
2
j
3
j
4
;
μ
i
1
i
2
i
3
i
4
i
5
i
6
=
M
i
1
j
1
M
i
2
j
2
M
i
3
j
3
M
i
4
j
4
M
i
5
j
5
M
i
6
j
6
μ
j
1
j
2
j
3
j
4
j
5
j
6
;
μ
i
1
i
2
i
3
i
4
i
5
i
6
i
7
i
8
=
=
M
i
1
j
1
M
i
2
j
2
M
i
3
j
3
M
i
4
j
4
M
i
5
j
5
M
i
6
j
6
M
i
7
j
7
M
i
8
j
8
μ
j
1
j
2
j
3
j
4
j
5
j
6
j
7
j
8
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(9)
Кроме преобразований из группы
G
п
, тензоры могут быть инвари-
антны относительно и других преобразований. Таким образом, группы
симметрии тензоров могут быть различны, и если обозначить группы
симметрии тензоров
μ
i
1
i
2
i
3
i
4
как
G
1
,
μ
i
1
i
2
i
3
i
4
i
5
i
6
как
G
2
, группу симме-
трии тензора
μ
i
1
i
2
i
3
i
4
i
5
i
6
i
7
i
8
как
G
3
. . . , то справедливы соотношения
G
п
G
1
, G
п
G
2
, G
п
G
3
, . . . ,
(10)
а также
G
п
G
1
[
G
2
G
1
,
G
п
G
1
[
G
2
[
G
3
G
1
[
G
2
,
G
п
G
1
[
G
2
[
G
3
[
G
4
G
1
[
G
2
[
G
3
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(11)
Линейно-упругие свойства материала описываются соотношением
(7), если в нем оставлен только один член ряда
σ
ij
=
μ
ijmn
ε
mn
,
(12)
где
μ
ijmn
— тензор упругости.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
161
1,2,3,4 6,7