Стр. 4 - С.В. Цветков - Упругая и пластическая анизотропия

явлениям и, следовательно, тензорам и тензорным функциям, описы-
вающим эти явления [4].
Для материала, проявляющего при пропорциональном деформиро-
вании пластические свойства, диаграммы деформирования нелиней-
ные и описываются нелинейной тензорной функцией
σij = Fij ( εmn); (1)
здесь σij — тензор напряжений; εmn — тензор деформаций.
Если для некоторого ортогонального преобразования с матрицей
М ij выполняется соотношение
М imМ jnσmn = Fij (М kmМ lnεmn), (2)
то это ортогональное преобразование является элементом симметрии
тензорной функции (1).
Совокупность всех ортогональных преобразований, удовлетворя-
ющих (2), образует группу симметрии тензорной функции (1). Это
группа симметрии пластических свойств материала Gп .
Принцип Неймана [1, 5] связывает симметрию физического явле-
ния, возникающего в анизотропном веществе, с симметрией струк-
туры. В соответствие с этим принципом элементы симметрии любого
физического свойства анизотропного материала должны включать эле-
менты группы симметрии структуры этого материала.
Таким образом, группа симметрии структуры материала Gт или
совпадает с группой симметрии пластических свойств, или является
подгруппой Gп :
Gп Gт. (3)
Отметим, что преобразование инверсии, т.е. преобразование с ма-
трицей
Q ij =  −1 0 0
0 − 1 0
0 0 − 1  , (4)
является элементом симметрии функции (1). Это вытекает из того, что
как функция, так и аргумент функции являются тензорами четного
ранга. В группу G т преобразование инверсии может не входить.
Функцию (1) можно представить в виде ряда [6]
σij =
∂F ij
∂εkl
εkl +
1
2!
∂2 Fij
∂εkl ∂εmn
εkl εmn +
1
3!
∂ 3 Fij
∂ε kl∂ε mn∂εpq
εklεmnεpq +. . . , (5)
где производные берутся при εij = 0.
Обозначим
μijkl =
∂Fij
∂εkl
; μijklmn =
1
2!
∂ 2 Fij
∂εkl ∂εmn
; μijklmnpq =
1
3!
∂ 3 Fij
∂εkl ∂εmn ∂εpq
, . . . .
(6)
160 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012