Уравнения (2) при
x, y, z R
o
можно линеаризовать, что при-
водит к уравнениям Клохесси–Уилтшайра, используемым при расчете
взаимного маневрирования двух КА на орбите:
¨
x
= 3
ω
2
x
+ 2
ω
˙
y
;
¨
y
=
−
2
ω
˙
x
;
¨
z
=
−
ω
2
z.
(3)
Уравнения в форме (3) можно применять, когда длина тросовой
связки хотя бы на два порядка меньше геоцентрического радиуса ОСК.
Для низких околоземных орбит это дает допустимый размер 70 км, что
охватывает почти все предлагаемые к реализации проекты КТС.
Сравнивая уравнения движения в форме (1)–(3), можно указать
следующее. Уравнения (1) более простые по форме, но требуют вы-
полнения численных расчетов с максимально возможной точностью,
так как здесь геоцентрические радиусы-векторы точек КТС близки по
значению, что может привести к влиянию погрешностей округления
на результаты численного моделирования.
Если на материальную точку, помимо гравитационного притяжения
Земли, действуют другие силы (например, сила аэродинамического со-
противления) или реакции связей (например, сила натяжения троса),
соответствующие возмущающие ускорения учитываются в правых ча-
стях уравнений. Применительно к системе (3) это дает следующие
уравнения движения концевой массы в составе КТС:
¨
x
= 3
ω
2
x
+ 2
ω
˙
y
+
N
x
M
;
¨
y
=
−
2
ω
˙
x
+
N
y
M
;
¨
z
=
−
ω
2
z
+
N
z
M
,
где
N
x
,
N
y
,
N
z
— проекции силы натяжения троса, действующей на
концевую массу
M
тросовой связки, на оси ОСК.
Проекции силы натяжения троса на оси любой системы коорди-
нат в общем случае определяются через ее абсолютное значение
N
и
координаты концевых масс КТС в этой системе отсчета:
N
x
=
N
x
т2
−
x
т1
q
(
x
т2
−
x
т1
)
2
+ (
y
т2
−
y
т1
)
2
+ (
z
т2
−
z
т1
)
2
;
N
y
=
N
y
т2
−
y
т1
q
(
x
т2
−
x
т1
)
2
+ (
y
т2
−
y
т1
)
2
+ (
z
т2
−
z
т1
)
2
;
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
35
1,2 4,5,6,7,8