106
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
где
т *
[ ]
({ })
[ ]
[ ]
ep
V
D
K
B B dV
 
— матрица жесткости системы;
({ })
R
— вектор узловых внешних сил системы.
Нелинейность задачи ведет к нарушению принципа суперпози-
ции и ее решение существенным образом зависит от истории (пути)
нагружения. В случае сложного непропорционального нагружения
решение может быть получено лишь разбиением пути нагружения на
малые интервалы и суммированием найденных на каждом интервале
решений.
Для реализации шаговой концепции МКЭ следует сформулиро-
вать в инкрементальной форме, когда разрешающие уравнения запи-
сывают не для конечных величин узловых внешних воздействий, а
для их приращений в пределах каждого шага. При этом процесс де-
формирования тела удобно представить как процесс движения его
точек, а решение задачи отыскивать, последовательно переходя от
шага к шагу, в виде скорости узловых точек { }
в момент времени
,
t
t
 
т. е.
}
{ } { { }.
t t
t

  
При этом вектор решения на каждом
шаге { }
должен быть найден из системы уравнений равновесия
МКЭ, но записанной в инкрементальной форме [5]:
}
}
}
({ )
({ ) { }
({ ) 0,
t
t
t
F
K
R
  
(10)
где
({ })
t
K
— матрица жесткости системы, являющаяся функцией
ее состояния в момент времени
t
; { }
— вектор-столбец неизвест-
ных значений приращений узловых скоростей за время
;
t
}
({ )
t
R
— вектор приращений узловых внешних сил системы,
зависящий от { }
t
вследствие температурных деформаций.
Процедура шагового метода представлена графически на рис. 1.
При решении задачи приходится иметь дело с конечными вре-
менными интервалами, что, как видно на рис. 1, ведет к накоплению
погрешности приближенного решения от точного. Для устранения
этого недостатка на каждом временном шаге используется итераци-
онный алгоритм Ньютона — Рафсона (рис. 2).
Допустим, что известно решение уравнения (10)
{ }.
Тогда ва-
риация (10) из положения равновесия по { ( )}
будет иметь вид
}
}
}
({ )
({ ) { }
({ )
0.
t
t
t
F
K
R
  
За “нулевое” приближение принимают упругое решение для фи-
зически нелинейной задачи.
1,2,3,4,5 7,8,9,10