8 / 14
В.М. Дубровин, Т.А. Бутина
8
Инженерный журнал: наука и инновации
# 11·2016
Однослойная и многослойные модели упругого оснований.
В
том случае, когда упругий заполнитель представляет собой деформи-
руемый слой небольшой мощности
(
)
H R
<<
, а поперечные переме-
щения по подошве этого слоя отсутствуют, можно принять
1
1
( , )
( ) ( );
x y V x y
υ = ψ
1
( )
.
H y
y
H
−
ψ =
(8)
Таким образом, предполагается, что вертикальные перемещения по
высоте упругого основания распределяются линейно, а функция
представляет собой осадку поверхности заполнителя.
В рассматриваемом случае вместо системы уравнений (7) будем
иметь одно уравнение равновесия:
2
11 1 11 1
1
1
1
0,
2
r V s V
q
E
− µ
− µ
− +
=
′′
(9)
где
2
1
11
1
0
;
3
H
H
r
dF
δ
= ψ =
∫
2
1
11
1
0
.
H
s
dF
H
δ′
= ψ = ′
∫
Модель упругого основания, определяемая уравнением (9), назы-
вается моделью с двумя характеристиками, или однослойной моде-
лью. Напряжения в такой модели в соответствии с общим случаем (1)
можно записать в виде
(
)
(
)
1 1
1
2
2
1 1
1
( );
1
(1 )
( ).
2 1
2 1
y
xy
yx
E
E
V
V x
H
E
E H y
V
V x
H
σ =
ψ = − ′
− µ
− µ
−
τ = τ =
ψ = ′
′
( µ
( µ
(10)
Из уравнений (10) следует, что нормальные напряжения в однослой-
ной модели постоянные по высоте слоя, а касательные — изменяют-
ся по линейному закону. Если толщина слоя
H
значительна (сопоста-
вима с
R
), выбор функции
1
( )
y
ψ
в виде (8) описывает НДС упругого
основания достаточно приближенно, так как в этом случае уже нель-
зя считать нормальные напряжения постоянными по всей высоте
слоя. Для получения решения задачи достаточной точности, не уве-
личивая число членов в разложении (2), функцию
1
( )
y
ψ
следует вы-
бирать так, чтобы она учитывала затухание напряжений по высоте
упругого основания.
Тогда можно записать
1
( )
y
ψ
в виде [15, 16]
1
(
)
( )
sh H y
y
sh H
γ −
ψ =
γ
, (11)