3 / 14
Моделирование деформирования упругого основания…
Инженерный журнал: наука и инновации
# 11·2016 3
Задача о плоском напряженном состоянии представляет собой
двумерную задачу теории упругости. Для ее решения можно вос-
пользоваться как методом перемещений, так и методом напряжений
[2–11]. В первом случае в качестве основных неизвестных принима-
ются перемещения произвольной точки выделенного элемента
( , ), ( , )
u x y x y
ϑ
по координатам
, .
x y
Они определяются из условий
равновесия упругой системы. Этот метод в строительной механике
называется методом деформаций. Во втором случае за основные не-
известные принимаются напряжения
, ,
x y xy
σ σ τ
в произвольной
точке выделенного элемента, которые определяются из условий не-
разрывности деформаций рассматриваемой системы. Этот метод ана-
логичен методу сил, применяемому в строительной механике стати-
чески неопределимых стержневых систем.
Решение задачи будем искать методом перемещений. Примем
для рассматриваемого элемента продольное перемещение точки
( , )
u x y
и поперечное —
( , ).
x y
ϑ
Перемещения считаются положи-
тельными, если их направления совпадают с положительными
направлениями координатных осей.
В общем случае плоской задачи теории упругости напряжения
связаны с деформациями следующими соотношениями:
1
2
2
(
);
1
x
E
σ =
ε ( µε
− µ
2
1
2
(
);
1
y
E
σ =
ε ( µε
− µ
(1)
,
2(1 )
xy
yx
E
τ = τ =
γ
( µ
где
,
x y
σ σ
— нормальные напряжения по осям
,
x y
;
,
xy yx
τ τ
— ка-
сательные напряжения;
,
E
µ
— модуль упругости и коэффициент
Пуассона материала упругого заполнителя;
1 2
,
ε ε
— линейные де-
формации по осям
,
x y
;
γ
— деформация сдвига.
Деформации упругого заполнителя определяют через перемеще-
ния:
1
2
;
;
.
u
u
x
y
y x
∂
∂ϑ ∂ ∂ϑ
ε = ε = γ = +
∂
∂
∂ ∂
Для определения напряженно-деформированного состояния
(НДС) выделенного элемента представим искомые перемещения в
виде конечных разложений:
1
( , )
( , ) ( ),
m
i
i
i
u x y
U x y y
=
=
ϕ
∑
1, 2, ..., ;
i
m
=
(2)