4 / 16
Ю.И. Димитриенко, Е.А. Губарева, С.В. Сборщиков
4
Подставляя разложения (2) в систему (1), применяя правило
дифференцирования и собирая члены при одинаковых степенях
k
,
получаем так называемую локальную задачу термоупругости на ЯП:
(0)
/
(0)
(0)
0
(0)
(1)
(1)
/
/
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
0 в ;
(
) в
;
1
в ;
2
,
на
;
0
0,
0.
ij j
ijkl
kl
s
ij
kl
ij
ij
i j
j i
N
i
i
N
N
j
ij
ij
i
i
V
C
V
u u
V
u u
n
u
u
(7)
Здесь обозначен оператор осреднения:
1
;
N
i
i
V
u
u dV
1
.
N
ij
ji
V
dV
(8)
В (7) условие
0
i
u
— это условие периодичности функций на
границе ЯП, а условие
0
i
u
вызвано требованием единственно-
сти решения локальной задачи [7]. В силу периодичности функций
(1)
i
u
имеем следующее соотношение:
0
0
0
,
,
1
.
2
ij
ij
i j
j i
u u
(9)
Решение локальных задач термоупругости
L
pq
на ЯП.
Будем
полагать далее, что ЯП является симметричной при преобразованиях
из группы ортотропии относительно осей координат
s
O
[16]. Тогда
вместо решения локальной задачи (7) на всей ЯП области
V
можно пе-
рейти к решению задачи на области
V
, представляющей 1/8 часть ЯП.
Перемещения «первого уровня», деформации и напряжения «ну-
левого уровня», а также тепловые деформации представим в виде
следующих сумм:
3
(1)
( )
, 1
;
i pq
i
p q
u
u
3
(0)
( )
, 1
;
ij pq
ij
p q
3
(0)
( )
, 1
;
ij pq
ij
p q
3
0
0
( )
, 1
;
ij
ij pq
p q
,
1, ..., ,
k
V
N
(10)