2 / 9
А.Ю. Бушуев
2
0.
Lf
(1)
Уравнение возмущенной системы имеет вид
0.
L f
(2)
Возмущение проводится путем изменения управления
( )
u x
на
( ),
u x
причем
;
L L L
0.
L L f
Lf
Lf
Умножим скалярно последнее равенство на сопряженную функ-
цию
*
:
f
*
*
,
,
0.
f Lf
f
Lf
Используя тождество Лагранжа
*
* *
,
,
0
f Lf
f L f
и учитывая, что
* *
0
L f
(если в уравнение подставляется решение),
получаем основное соотношение теории возмущений:
*
,
0
f
Lf
или (в случае малых возмущений)
*
,
0.
f
Lf
(3)
Уравнение (3) можно использовать для построения ФЧ при зада-
нии оператора
L
и функционала задачи.
Рассмотрим построение ФЧ для задачи свободных поперечных
колебаний консольно закрепленной балки переменного сечения.
В качестве целевого функционала выберем первую собственную ча-
стоту колебаний
p
конструкции
,
в качестве «управления» — площадь
поперечного сечения
S
(
x
).
При ряде допущений [13] дифференциальные уравнения форм
поперечных колебаний стержня имеют вид
1
2
3
2
3
4
2
4
1
;
;
( )
;
( )
.
df
f
dx
f
df
dx EJ x
df
f
dx
df
S x p f
dx
(4)