3 / 19
Некорректные задачи и многокритериальное программирование
3
Далее берется какая-либо положительная последовательность
,
k
сходящаяся к нулю, например
0
,
1
k
k
q q
, и при каждом
1, 2,
k
на множестве
U
определяется функционал Тихонова [1]
( ) ( )
,
.
k
k
T J
U
x x
x x
Здесь
( )
J
x
— некий функционал, определяющий соответствие
наблюдаемых значений и решения.
Минимум функционала Тихонова для различных значений
k
оп-
ределяет минимизирующую последовательность
k
x
, сходящуюся к
регуляризованному решению.
Затем появился другой подход к решению некорректных задач,
названный
методом статистической регуляризации.
В работе [5]
впервые было введено понятие функции плотности вероятности для
оценок вектора решения. В данном методе предполагается, что извест-
ны априорные функции плотности вероятности исходных данных и па-
раметра регуляризации. Считают, что элементы вектора
у
не коррели-
рованы, измеряются со среднеквадратическим отклонением (СКО), рав-
ным
(СКО шума), и распределены по нормальному закону. По
формуле Байеса получают апостериорное распределение для
x
.
Целевая функция
метода регуляризации
посредством миними-
зации максимальной энтропии
[5]
отличается от целевой функции
метода А.Н. Тихонова лишь стабилизатором и имеет следующий вид:
2
2
1
( , )
ln min .
n
i
i
i
J
x x
x
x
Ax y
(2)
Поскольку целевая функция (2) является нелинейной, нельзя за-
писать простое аналитическое выражение для вектора
x
, доставля-
ющего ей минимум, как это было сделано для метода Тихонова.
В работе [2] доказана выпуклость целевой функции (2), поэтому для
поиска ее минимума можно использовать любой метод локальной
оптимизации нелинейных функций векторного аргумента. Следует
отметить, что целевая функция (2) предполагает положительность
всех элементов вектора
x
.
Метод регуляризации посредством ограничения числа итера-
ций
[5] основан на минимизации нелинейной целевой функции сле-
дующего вида:
1
1
1
1
( )
ln
min .
m n
n
ij j
i
ij j
i
i
j
j
J
a x y
a x
y
x
x
(3)
Целевая функция (3) имеет единственную точку минимума [5].
Регуляризирующий эффект данного метода обусловлен: