1
УДК 514.8
Поле электромагнитного узла и метрика
Спарлинга – Тода
© В.Н. Тришин
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Рассмотрены явные антисамодуальные решения комплексных уравнений Эйнштей-
на на основе изотропных решений действительных уравнений Максвелла в вакууме.
Показано, что решению уравнений Максвелла, описывающему поле электромагнит-
ного узла, соответствует известная метрика Спарлинга – Тода.
Ключевые слова
: антисамодуальные решения, уравнения Эйнштейна, электромаг-
нитный узел, изотропное поле Максвелла.
Введение.
В настоящей работе рассмотрены антисамодуальные
решения комплексных уравнений Эйнштейна, принадлежащие классу
Керра – Шилда. Известно [1], что такие решения локально могут быть
получены из изотропных решений действительных уравнений Мак-
свелла в плоском пространстве.
Пусть
M
– комплексное четырехмерное многообразие с координа-
тами (
x
,
y
,
w
,
z
). Используя спинорный формализм абстрактных индек-
сов [2], записываем координаты в виде
=
= ,
,
AA
A A
y w
X
x w
x z
(1)
где
0
1
= = ( , ),
= = ( , ).
A
A
A
A
x X y x w X w z
Индексы, принимающие значения 0,1, опускаются
=
A
B
AB
x x
и поднимаются
=
A AB
B
x
x
с помощью антисимметричного спин-
тензора
AB
= –
BA
.
Вакуумные уравнения Эйнштейна приводят к условиям
= 0,
= 0,
ABA B
R
(2)
где
ABA
′
B
′
– спинор Риччи;
R
– скалярная кривизна.
Условие антисамодуальности конформной кривизны имеет вид
A′B′C′D′
= 0,
(3)
где
A′B′C′D′
– самодуальный спинор Вейля.
