3
Поле электромагнитного узла и метрика Спарлинга – Тода
2
2
= 2
2 (
) .
A
A
A
A
ds
dx dw
dw
(12)
В метрике (12) спинорное поле
A
определяет главное изотропное
направление поля Максвелла:
AB
=
A
B
.
(13)
Конструкция изотропного поля Максвелла.
По теореме Робин-
сона [5], уравнения Максвелла для (13) приводят к условию бессдвиго-
вости для конгруэнции, определяемой спинорным полем
A
, а именно:
A
B
AA′
B
= 0.
(14)
Действительно-аналитические решения этой системы в плоском
пространстве
2
= 2
= 2(
)
A
A
ds
dx dw dwdx dzdy
можно получить с помощью теоремы Керра (см., например, работу [1]).
Спинор
A
неявно определен уравнением
( ,
) = 0,
AA
A
A
F i X
(15)
где
F
(
) – произвольная голоморфная однородная функция (дуально-
го) твистора
= ( ,
)
A
A
Z
с
=
.
A
AA
A
i X
Функция
(
x
) в выражении (13) должна удовлетворять системе
уравнений
ln =
.
A
A
AA
AA
A
(16)
В уравнениях (16)
A
определяется из выражения
= .
A
AA B B A
(17)
Данная система для аналитических конгруэнций, заданных с помо-
щью теоремы Керра функцией
F
(
), всегда имеет решения. Для их
явного построения удобно воспользоваться результатами работы [6].
В ней было показано, что общее аналитическое решение для
(
x
) имеет
вид
=
G
,
где функция определена условием
= ,
AA
A
A
A
F
F iX
(18)
