2
В.Н. Тришин
Таким образом, тензор кривизны принимает вид
=
.
ABCD A B C D
R
(4)
Метрику антисамодуального многообразия Эйнштейна в координа-
тах (
x
,
y
,
w
,
z
), удовлетворяющую условиям (2) и (3), можно записать
в виде [3]
2
2
2
= 2
2
=
= 2
2
2
.
A
A B
A
AB
yy
xy
xx
ds
dx dw dw dw
dwdx dzdy
dw dwdz
dz
(5)
В метрике (5)
2
( )
= =
.
AB
AB
A B
x x
(6)
Комплексная функция
(
x
,
y
,
w
,
z
) является решением второго урав-
нения Плебаньского [4]:
2
=
.
yz
xw xy
xx yy
(7)
Метрики в форме Керра – Шилда имеют следующее представление:
g
=
+
H
l
l
,
(8)
где
– метрика Минковского;
l
– некоторый изотропный вектор;
H
–
функция координат многообразия.
Метрика (5) принадлежит [1] классу Керра – Шилда при условии,
что поле
AB
является изотропным:
2
= 2(
) = 0.
AB
AB
xx yy
xy
(9)
Тогда из второго уравнения Плебаньского (7) следует, что потенци-
ал
должен удовлетворять волновому уравнению
yz
+
xw
= 0.
(10)
Уравнение (10) при условии (6) эквивалентно вакуумным уравне-
ниям Максвелла в пространстве Минковского:
AA′
AB
= 0.
(11)
Таким образом, запишем метрику антисамодуального многообра-
зия Эйнштейна в форме Керра – Шилда:
