Динамическая игровая модель экономического сотрудничества
7
мент
'
t
определяется как момент прохождения коэффициента
1
1
( )
p t
(всегда неотрицательного и описываемого формулой (15)) через зна-
чение 1, а момент
''
t
определяется как момент изменения знака ко-
эффициента
( )
K t
перед управлением
v
в гамильтониане
2
H
.
Покажем, что
1
1
( ) > 1
p t
при
t
<
t'
и
p
1
(
t
) < 1 при
t
>
t'
, причем ин-
тервал (
t
,
t'
) значительно превосходит интервал (
t'
,
t
1
).
Согласно формуле (15),
1
1
( ) > 0
p t
и
1
1 1
( ) = 0
p t
, причем функция
1
1
( )
p t
быстро возрастает (назад во времени) от момента
1
t
до момента
0
t
. Отсюда следует, что коэффициент
2
( )
K t
в гамильтониане
1
H
по-
ложителен почти на всей траектории при
0
( , ')
t t t
за исключением
малого интервала
1
( ', )
t t
перед конечным моментом
1
t
. Существова-
ние момента
'
t
порождает по меньшей мере две «локальные» игро-
вые задачи на траектории.
В гамильтониане
2
H
неравенство
2
1
x
e
может сохраняться на
довольно большом интервале (соизмеримом со временем истощения
природных ресурсов), а следовательно, на разумном интервале пла-
нирования
0 1
= ( , )
T t t
величина
2
1/( )
x
e
тем более остается очень ма-
лой. Коэффициент
2
2
( )
p t
также остается малым
2
2
( < 1)
p
на этом ин-
тервале, что видно из формулы (16). Отсюда следует, что существует
разумный горизонт планирования
T
, на котором коэффициент
( )
K t
в формуле (20) остается положительным.
Если горизонт планирования
T
достаточно велик, то помимо ука-
занного выше момента
'
t
возможен еще второй критический момент
''
t
, в который коэффициент
( )
K t
изменит знак на отрицательный. Это
приведет к тому, что появится и третья локальная задача. Однако в
прикладных задачах математически моделировать динамику экономи-
ки на большом интервале времени не имеет смысла, поскольку до сих
пор не получено удовлетворительно точных математических форму-
лировок законов экономического развития. Вследствие этого рассмат-
ривать случай больших горизонтов планирования
T
в случае исполь-
зования в модели любых производственных функций лишено смысла,
а следовательно, отсутствует необходимости изучать и случай появле-
ния в модели критического момента
''
t
.
Итак, принимаем, что только критический момент
'
t
изменения
знака коэффициента
2
( )
K t
возможен в рассматриваемой дифферен-
циальной игре двух экономических объектов. Выясним поведение
уровней функции
1
= const
H
на плоскости
( , )
u v
. С этой целью про-
дифференцируем равенство (19) по
u
, считая
( )
v v u
:
