Математическое обоснование аномальности движения межпланетных зондов
5
Введем обозначение
=
GM
(где
0
), используемое в
небесной механике [2, 5], и найдем вариацию (линеаризацию) урав-
нения (1) относительно некоторого его решения:
2
+ 2
= 0.
r r r r r
(5)
Вводя ради удобства обозначение
1
r y
и переписывая уравне-
ние (5) второго порядка в виде системы уравнений первого порядка,
получаем следующую систему двух линейных уравнений, описыва-
ющих отклонения от любого выбранного номинального решения
уравнения (2):
1 2
2
1
= ;
= 2 .
y y
r
y
y
r
(6)
Устойчивость нулевого решения
1
2
( )
( ) 0
y t
y t
уравнений (6)
определяет (в первом приближении) устойчивость некоторого рассмат-
риваемого решения уравнения (2). Согласно теоремам Ляпунова [6,
с. 98–103], необходимо найти корни характеристического уравнения
1
0
2
r
r
,
(7)
т. е. уравнения
2
+ 2 / = 0
r r
. Очевидно, что
1,2
3
2
2
=
=
.
r
r
r
Получаем, что оба корня вещественны и разного знака. Согласно
теореме Ляпунова, «если среди корней характеристического урав-
нения найдется хотя бы один с положительной вещественной ча-
стью, то невозмущенное движение неустойчиво независимо от
членов выше первого порядка малости» [6, с. 103]. Таким образом,
любые движения по уравнению (2) или по уравнению (1) на очень
больших расстояниях от центра тяготения, исключая круговые ор-
биты, неустойчивы относительно
r
и
r
. Однако они устойчивы
относительно классических элементов своей орбиты [5, с. 79].
Обратимся теперь к исследованию устойчивости движения, опи-
сываемого уравнениями (3) и (4). По аналогии найдем уравнение в
вариациях для уравнения (3). При прежних обозначениях получаем
следующие уравнения возмущенного движения:
1
2
3
2
2
= ;
= 4 / .
y y
y
r y
(8)
