Свободные осесимметричные колебания двухслойной жидкости…
5
В силу граничных условий (1)–(3) выражения для потенциалов
скоростей принимают вид
1
1
10
1 0
1
i
i
i
i
h
r
C
C J
R
R
∞
=
μ⎛ ⎞
Φ = − +
Λ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
,
(11)
2
2
22
3 0
1
ch
i
i
i
i
r
h
C C J
R
R
∞
=
μ
μ
⎛ ⎞ ⎛
⎞
Φ = − +
⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎝ ⎠ ⎝
⎠
∑
,
(12)
где
2
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
ch
sh
ch
h
.
ch
sh
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
g
h
h
R R R
R
z
z
s
R
R
h
g
h
R
R R R
⎡
⎤
ρ μ μ μ ρ
μ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⎞
⎛
⎞
+
− ω
⎢
⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟
σ
σ
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠ μ
μ
⎢
⎥
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎣
⎦
Λ =
+ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎡
⎤
⎝ ⎠
⎝ ⎠
ρ
μ
ρ μ μ μ
⎛
⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⎞
ω
− + ⎢
⎥
⎜
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟
σ
σ
⎝
⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎠
⎢
⎥
⎣
⎦
Окончательно, с учетом соотношений (4), (11), (12) и дифферен-
циальное уравнение движения запишем следующим образом:
2
1
2
2
1
10
1 0
1
2
2
22
3 0
1
2
2
2
ch
,
1 ,
i
i
i
i
i
i
i
i
h
r
w
C
C J
R
R
r
h
C C J
R
R
d
d
dr r dr
∞
=
∞
=
⎡
⎤
μ⎛ ⎞
∇ = ρ ω − +
Λ −
⎜ ⎟
⎢
⎥
⎝ ⎠
⎣
⎦
⎡
⎤
μ
μ
⎛ ⎞ ⎛
⎞
− ρ ω − +
⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎢
⎥
⎝ ⎠ ⎝
⎠
⎣
⎦
∇ = +
∑
∑
(13)
где
ω
— собственная частота колебаний механической системы. Ре-
шение уравнения (13) имеет вид
2
2
2
1
2
1
1
10
1
0
1
2
2
2
2
22
2 0
1
4
ch
.
4
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
h r
R
r
w C
C
C J
R
R
r
r R
H
C
C J
R
R
∞
=
∞
=
⎡
⎤
⎛ ⎞
μ⎛ ⎞
= + ρ ω −
−
Λ −
⎢
⎥
⎜ ⎟
⎜ ⎟μ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎢
⎥
⎣
⎦
⎡
⎤
⎛ ⎞
μ
μ
⎛ ⎞
⎛
⎞
−ρ ω − +
⎢
⎥
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟μ ⎝ ⎠
⎝
⎠
⎝ ⎠
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
∑
Здесь полагаем
2
0,
C
=
поскольку прогиб мембраны ограничен при
0.
r
=
Для определения соответствующих постоянных разложим член
2
4
r
в ряд по функциям
0
:
i
r
J
R
μ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
