А.А. Пожалостин, Д.А. Гончаров
4
где
2
''
2
,
i
i
k
d X X
dx
=
,
i
i
dR R
dr
′ =
2
''
2
.
d R R
dr
=
Таким образом,
2
''
2
0,
i
i
i
X X
R
μ
−
=
2
2
1
0.
i
i
i
R R R
r
R
μ
′′
′
+ + =
(5)
Частные решения уравнений (5) представим в виде
1
2
( )
ch
sh
i k
i k
i
k
i
i
x
x
X x C
C
R
R
μ
μ
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
,
(6)
1 0
2 0
( )
i
i
i
i
i
r
r
R r A J
A N
R
R
μ
μ
⎛ ⎞
⎛ ⎞
=
+ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
,
(7)
где
1
,
i
C
2
,
i
C
1
,
i
A
2
i
A
— константы, определяемые из граничных
условий;
0
,
J
0
N
— бесселевы функции первого и второго рода соот-
ветственно. Ввиду ограниченности функций
i
Φ
при
0
r
=
имеем
2
0.
i
A
=
С учетом соотношений (6) и (7) запишем следующие выражения
для потенциалов скоростей жидкости:
1
1
1
1
20
10
1 0
1
2
1
1
ch
sh
i
i
i
i
i
i
i
x
r
x
x
C C
A J
C
C
h
R
R
R
∞
=
μ
μ
μ
⎡
⎤
⎛ ⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
Φ = +
+
+
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎢
⎥
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎣
⎦
∑
, (8)
2
2
2
2
21
22
2 0
3
4
1
ch
sh
i
i
i
i
i
i
i
x
r
x
x
C C
A J
C
C
R
R
R
R
∞
=
μ
μ
μ
⎡
⎤
⎛ ⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
Φ = +
+
+
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎢
⎥
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎣
⎦
∑
. (9)
Здесь
i
μ
—
i-
й корень бесселевой функции первого рода. Временной
множитель в соотношениях (8) и (9) опущен.
Дифференциальное уравнение движения мембраны имеет вид
1
2 2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
0
1
1
x
x h
w w
r r r T
t
t
=
=
⎡
⎤
∂
∂
∂ Φ
∂ Φ
+ = −ρ
+ ρ
⎢
⎥
∂
∂
∂
∂
⎢
⎥
⎣
⎦
,
(10)
где
k
k
k
p
t
∂Φ
= ρ
∂
— гидродинамическое давление жидкости на мем-
брану. Отметим, что однородное уравнение (10) удобно записывать
для функции
( , ) .
w r t
w
t
∂
=
∂
Его решение можно представить как
1
2
ln .
w C C r
= +
