Свободные осесимметричные колебания двухслойной жидкости…
3
Потенциал скоростей в объеме
1
τ
обозначим через
1
Φ
, в объеме
2
τ
— через
2
.
Φ
Функции
1
Φ
и
2
Φ
должны удовлетворять гранич-
ным условиям
0,
k
r
∂Φ
=
∂
1, 2,
k
=
,
r R
=
(1)
где
2
2
0
x
∂Φ
=
∂
,
2
0.
x
=
(2)
Запишем граничные условия на свободной поверхности [9]:
1
1
1
1
1 1
0
П u u
t
x
ρ ∂Φ ρ ∂
−
+
− Δ =
σ ∂ σ ∂
при
1
1
,
x h
=
1
1
w
x
∂Φ
=
∂
при
1
1
,
x h
=
Здесь
1
σ
— коэффициент поверхностного натяжения;
u
— смещение
свободной поверхности;
1
П gx
=
— потенциал массовых сил (
g
—
ускорение свободного падения);
Δ
— оператор Лапласа — Бельтра-
ми, который в случае плоской свободной поверхности имеет вид
оператора Лапласа.
Кроме того, функции
1
Φ
и
2
Φ
должны удовлетворять гранич-
ным условиям на поверхности мембраны
:
S
1
1
,
w
x
∂Φ
=
∂
1
0.
x
=
(3)
Теперь найдем явные выражения для потенциалов скоростей ча-
стиц жидкости
1
Φ
и
2
Φ
. Согласно методу Фурье
1
( ) ( ) ( ).
k
i
k i
i
X x R r S t
∞
=
Φ =
∑
(4)
Далее временной множитель
( )
S t
опущен. Подставляя соотношение
(4) в уравнение Лапласа и разделяя переменные, для
i
-го члена ряда
получаем
2
2
1
,
i
i
i
i
i
i
R R
X r
X
R R
′
′′ +
′′
μ
= −
=
1, 2,
i
=
