Параллельная реализация локального ансамблевого фильтра Калмана …
3
На первом этапе (шаг прогноза) моделируется состояние системы
(
x
b
в наших обозначениях) и матрица ковариаций
P
b
. На втором этапе
(шаг анализа) спрогнозированное состояние корректируется с учетом
имеющихся на момент анализа наблюдений и матрицы ковариаций
R
.
Такой подход хорошо зарекомендовал себя в реальных системах,
имеющих не очень высокие порядки. Однако применение классиче-
ского фильтра Калмана при подготовке начальных данных для со-
временных численных моделей атмосферы практически невозможно
по двум причинам:
1) порядок вектора состояния может достигать значения 10
8
, вы-
числение матрицы ковариаций
P
b
в этом случае требует огромных
вычислительных затрат;
2) система уравнений и оператор наблюдений существенно не-
линейные, а значит, полученное решение может оказаться неопти-
мальным.
Идея ансамблевых фильтров Калмана заключается в статистиче-
ской оценке матрицы ковариаций
P
b
по ансамблю первых приближе-
ний, размерность которого значительно меньше размерности модели
(десятки или сотни). При таком подходе матрица ковариаций
P
b
име-
ет структуру, которая обусловлена реальными свойствами процессов,
происходящих в атмосфере. Кроме того, ансамблевая фильтрация до-
статочно проста (в сравнении с вариационными методами), хотя
предполагает дополнительные вычислительные затраты для расчета
большего числа прогнозов.
При усвоении с помощью ансамблевых фильтров Калмана в цик-
ле усвоения (анализ-прогноз) участвует не один вектор первого при-
ближения, а ансамбль первых приближений
{
}
(1)
(2)
( )
,
,...,
b
b
b
b k
x x x
x
=
,
где
k
— размерность ансамбля (обычно 40…200). С помощью такого
ансамбля производится оценка матрицы ковариаций ошибок первого
приближения:
( )
T
1
( 1)
b
b b
P k
X X
−
= −
,
(3)
где
{
}
(1)
(2)
( )
,
,...,
b
b
b b
b
b k
b
X x x x
x x
x
= −
−
−
,
( )
1
1
k
b
b i
i
x
x
k
=
=
∑
— среднее
по ансамблю.
Матрица ковариаций ошибок анализа может быть вычислена сле-
дующим образом:
(
)
(
)
1
T
T
a
b
b
b
b
b
P I KH P P P H R HP H HP
−
= −
= −
+
,
(4)
где
I
— единичная матрица размерностью
n
×
n
.
