Оценивание параметров модели по нечетким случайным данным
5
линейной моделью
( )
( )
( )
[ ]
Н
1 Н
Н
1
,
0,
n
i
i
i
y t
x f t e t t
T R
=
= ∑
+
∈ ∈
, где
e
Н
—
нечеткая случайная переменная с симметричной плотностью и пара-
метрами:
Ee
Н
(0);
De
Н
(
t
) =
δ
2
·
I
,
I
— единичная матрица;
δ
2
— заданная
четкая константа; нечеткость
e
Н
(
t
) задается с помощью функции при-
надлежностей
r
(
e
Н
) треугольного типа;
( )
,
1,
i
f t i
n
=
, — заданные ба-
зисные функции модели;
Н
,
1,
i
x i
n
=
— неизвестные нечеткие пара-
метры модели, подлежащие определению по
m
нечетким случайным
измерениям:
( )
( )
( )
(
)
(
)
Н
1 Н 2
Н
1Н 2Н
Н
,
,...,
,
,...,
,
h
m
m
Y y t y t
y t
y y
y
τ
=
=
которые
получены в момент времени
t
:
t
1
,
t
2
, …,
t
m
;
m
>
n
— число измерений
m
больше числа
n
неизвестных параметров модели.
Нечеткий вектор оценок находится из условия
2
Н Н
Н
min
min
n
x
x
E
e e
Y FX
τ
=
−
,
где
F
= (
f
i
(
t
j
))
m
×
n
— прямоугольная матрица.
Это приводит к необходимости решения нечеткой линейной си-
стемы [2]
AX
=
Н
,
U
τ
где
A
= (
f
i
,
f
j
);
i
,
j
=
n
— квадратная матрица
dim
A
= (
n
×
n
);
(
)
(
)
(
)
(
)
Н
1Н 1 Н 2Н 2 Н
Н
Н
,
,
,
,...,
,
n
n
U U f Y U f Y U f Y
τ
= =
=
=
—
вектор нечетких переменных,
(
)
Н
Н
,
,
1,
i
i
U f Y i
n
=
=
, — скалярное про-
изведение векторов
f
i
,
Y
Н
в
E
n
. В результате находится вектор нечет-
ких оценок
(
)
Н 1Н 2Н
Н
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
,
,...,
T
n
X x x
x
=
, компоненты которого, согласно
[2], могут быть «сильными» или «слабыми».
Пример.
Имеем модель
y
Н
(
t
) =
x
1Н
·1 +
x
2Н
·
t
+
e
Н
(
t
) . Здесь
f
1
(
t
) = 1,
f
2
(
t
) =
t
— базисные функции (
n
= 2). Получены нечеткие случайные
данные (
m
= 3):
[ ]
(
)
(
)
[ ]
(
)
(
)
(
)
[ ]
(
)
(
)
1 1
1Н 1
1
2 2
2Н 2
2
3 3
3Н 3
3
точка :
1;
;
2 /
0;1 ,
точка :
0;
0;
0 /
0;1 ,
точка :
1;
;
1 /
0;1 ,
0.
O t
y
y r y
r r
O t
y
y
y
r
O t
y
y r y
r r
= − = = = − ∈
=
= = = ∈
= = = = β − − β ∈ β >
Вычисления дают следующее:
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
( )
( ) (
) (
)
[ ]
(
)
Н
3
3
1 1
1
1 2
2 1
1
3 2
2 2
1
3
1 Н
Н 1Н 3Н 1Н
1
1
1
,
1 1 3; ,
,
1 0;
,
2;
,
1
2 ;
3
1 /
0;1 ;
i
i
i
i
i
i
i
i
U
f f
f f
f f
t
f f
t
f Y
y
y y U
U r
r U r
r r
=
=
=
=
= ∑ ⋅ =
=
= ∑ ⋅ =
= ∑ =
= ⋅
= +
=
=
= ⋅
= β + − β + ∈
∑
