Оценивание параметров модели по нечетким случайным данным
3
(
)
(
)
(
)
[ ]
1
1
Н
1
1
ˆ ( )
;
ˆ
ˆ ( )
/
0;1
n
i
i
n
i
i
T r n
x
r
T
T r n
x
r r
=
−
=
⎛
⎞
⎡
⎤
= ∑ −β + β
⎣
⎦
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎡
⎤
= ∑ + α − α ∈
⎣
⎦
⎝
⎠
,
откуда
(
)
(
)
[ ]
(
)
Н
ср
ср
ср
1
ˆ
ˆ
ˆ
( )
; ( )
/
0;1 ,
n
i
i
T T r T
r T r T
r r
T
x
=
= = − β + β
= + α − α ∈
= ∑
.
Для того чтобы
T̂
Н
было нечетким числом, должны выполняться
неравенства [2]
(
)
(
)
(
)
(
)
[ ]
ср
ср
ср
ср
0,
,
0;1 ,
0,
T
r
T
r T
r r
T
r
⎧ + α − α ≤
⎪
+ α − α ≥ −β + β ∀ ∈
⎨
−β + β ≥
⎪⎩
которые справедливы всегда, так как
α
> 0,
β
> 0. Это означает, что
нечеткая оценка
T̂
Н
является «сильной». Расчеты показывают, что
Н
ˆ
λ
также является «сильной» нечеткой оценкой.
2.2. Метод максимального правдоподобия.
Вектор нечетной
оценки находится из следующего условия:
(
)
Н
Н Н
max ln ,
L x
θ
θ
, где
(
)
(
)
Н Н
1
Н Н
,
,
n
i
i
L x
f x
=
θ = ∏ θ
— функция правдоподобия.
Это приводит к нечеткой системе уравнений относительно нечет-
ких компонент
θ
k
Н
вектора
θ
Н
:
(
)
Н Н
Н
ln ,
0,
1,
L x
K r
∂
θ
= =
∂ θ
.
Пример.
В теории управления достаточно часто используются не-
чувствительные или робастные нечеткие системы [4], которые малочув-
ствительны к внешним возмущениям. Аналогичные системы суще-
ствуют при нечетком оценивании, когда возникает задача фильтрации
аномальных измерений. Один из способов их описания состоит в ис-
пользовании для этих целей нечеткого распределения Лапласа [3].
Пусть задана нечеткая случайная выборка
x
= (
x
1Н
,
x
2Н
, …,
x
n
Н
) с
независимыми компонентами, которые имеют плотность
(
)
1
1
2
Н Н
2
Н Н
2 /
,
2 exp
,
1, 2
i
i
x
f x
i
−
⎧
⎫
− θ
⎪
⎪
θ = δ −
=
⎨
⎬
δ
⎪
⎪
⎩
⎭
.
Здесь
θ
Н
=
E
x
— нечеткое математическое ожидание, подлежащее
оцениванию;
δ
— заданная четкая константа.
