И.А. Мочалов, М.С. Хрисат
2
2. Методы решения.
В прикладных задачах традиционной мате-
матической статистики для решения сформулированной выше задачи
чаще всего используются методы моментов, максимального правдо-
подобия, наименьших квадратов [3].
2.1. Метод моментов.
Есть нечеткая случайная выборка данных
x
Н
= (
x
1Н
,
x
2Н
, …,
x
n
Н
) из генеральной совокупности
X
Н
, которая имеет
закон
f
(
x
Н
,
θ
Н
) распределения с точностью до нечеткого вектора па-
раметров
θ
Н
= (
θ
1Н
,
θ
2Н
, …,
q
n
Н
). Полагается, что у нечеткой случай-
ной величины
X
Н
существуют первые
r
нечетких моментов
Н
Н
,
1,
k
k
m EX k r
=
=
, которые являются функциями нечеткого вектора
неизвестных параметров
m
k
(
θ
Н
).
С другой стороны, имеется
r
нечетких выборочных характери-
стик (нечеткие статистики)
1
Н
1 Н
ˆ
,
1,
n k
k
i
i
m n
x k r
−
=
= ∑ =
.
В соответствии с методом моментов нечеткая оценка
Н
ˆ
θ
нахо-
дится из нечеткой системы уравнений:
( )
Н
Н
ˆ ,
1,
k
k
m m k r
θ =
=
относи-
тельно
θ
Н
. В общем случае эта система является нелинейной. Подоб-
ные уравнения справедливы относительно нечетких центральных
моментов и их выборочными нечеткими центральными моментами:
( )
Н
Н
ˆ ,
1,
k
k
k r
μ θ = μ =
.
Пример.
Пусть нечеткая случайная величина
Х
имеет экспонен-
циальное распределение с неизвестным нечетким параметром
λ
Н
:
(
)
Н
Н Н
,
,
0
x
f x
e x
−λ
λ = λ
≥
.
Задана нечеткая случайная выборка:
x
1Н
,
x
2Н
, …,
x
n
Н
.
Необходимо найти нечеткую оценку
Н
ˆ
λ
неизвестного параметра
λ
Н
по методу моментов. Для экспоненциального распределения име-
ем
1
1Н Н
m
−
= λ
[3].
Первый нечеткий выборочный начальный момент
1
1Н
1 Н
ˆ
n
i
i
m n x
−
=
= ∑
,
откуда
(
)
1
1
Н
1 Н
ˆ
n
i
i
n
x
−
−
=
λ =
∑
.
Для упрощения дальнейших вычислений переходим к обратной
величине
1
1
Н Н
1 Н
ˆ
n
i
i
T
n
x
−
−
=
= λ =
∑
.
Положим
(
)
(
)
[ ]
(
)
Н
( )
; ( )
/
0;1 ,
0,
0,
i
i
i
i
i
x x r x
r x r x
r r
= = − β + β
= + α − α ∈
α > β > α > β
— параметры, тогда
