Е.Ю. Зыбин, В.Н. Рябченко, Н.Е. Зубов, Е.А. Микрин
4
где
1
N
W
+
+
— псевдообратная по Муру — Пенроузу матрица;
1
R
N
W
⊥
+
—
правый делитель нуля (правый аннулятор) максимального ранга мат-
рицы (4), т. е.
1 1
0
R
N N
W W
⊥
+ +
=
,
(21)
ϕ
— произвольный вектор подходящей размерности.
Решение задачи терминального управления имеет единственный
вид, если и только если
1
0
R
N
W
⊥
+
=
.
(22)
Из (17) вытекает условие неразрешимости рассматриваемой зада-
чи терминального управления:
1
0
L
N
W x
⊥
+
≠
.
(23)
Для поиска приближенного решения в данном случае будем ис-
пользовать следующий подход [4].
Пусть для определенности
1
β
L
N
W x
⊥
+
=
,
(24)
где
β
—
некоторая ненулевая матрица, полученная в результате про-
изведения матрицы
1
L
N
W
⊥
+
и вектора
x̃
. Обратимся к выражению (24) и
рассмотрим его как уравнение относительно вектора
x̃
. Тем самым,
попытаемся выделить семейство «подходящих» правых частей си-
стемы (3), т. е. «подходящих» терминальных состояний динамиче-
ской системы (1). Разрешая (24) относительно вектора
x̃
, с учетом
(19), получим множество векторов, удовлетворяющих (17), [3]
(
)
T
1
1 1
β
γ
L
R
N
N N
x W W W
⊥
⊥
+
+ +
=
+
,
(25)
где
1
R
N
W
⊥
+
— матрица, удовлетворяющая уравнению
1
1 1 1 rank
N
L
R
N N N
W
W W W I
+
⊥
⊥
+ + +
=
;
(26)
γ
— произвольный вектор подходящей размерности.
Воспользовавшись (25), (26) вместо (3), рассмотрим уравнение
(
)
T
1
1
1 1
β
γ
L
R
N
N
N N
W u x W W W
⊥
⊥
+
+
+ +
= −
−
.
(27)
Очевидно, что с учетом (24) уравнение (27) оказывается всегда
разрешимым, поскольку
(
)
(
)
T
1
1
1 1
β
γ β β 0
L
L
R
N
N
N N
W x W W W
⊥
⊥
⊥
+
+
+ +
−
−
= − =
,
