О неединственности решения задачи терминального управления
3
(
)
(
)
T
T
1
1 1
0, det
0
N
N N
x Z W x
W W
+
+ +
>
>
.
(13)
При этом
1,
,
0,
k
N k
u W P x k N
+
+
=
=
.
(14)
4. Если решение задачи терминального управления (1) – (3) не
существует и при этом минимум величины
2
1
N
x x
+
−
достигается при неединственном выборе управлений
k
u
, то необхо-
димые и достаточные условия для этого случая имеют вид
(
)
(
)
T
T
1
1,
1
0, det
0
N
N k N
x Z W x
W W
+
+
+
>
=
.
(15)
При этом множество терминальных управлений следующее:
{
T T
T
T
0
1
1,
T
1,
1,
0
:
,
,
,
0,
.
u
N k
N k
N
m
k
N k
N j j
k
j
u u u u
u u W P x
v W P W v v
k N
+
+
+
+
+
=
⎡
⎤
Ω = =
=
+
⎣
⎦
⎫⎪
+ −
∀ ∈ = ⎬
⎪⎭
∑
(16)
Применяя подход к решению линейных матричных уравнений,
описанный в [3], получим альтернативные приведенным выше
утверждения.
A.
Решение задачи терминального управления (1)–(3) существует
при следующих необходимых и достаточных условиях:
1
0
L
N
W x
⊥
+
=
,
(17)
где
1
L
N
W
⊥
+
— левый делитель нуля (левый аннулятор) максимального
ранга матрицы (4), т. е.
1 1
0
L
N N
W W
⊥
+ +
=
.
(18)
Для определенности в дальнейшем будем считать, что матрица
1
L
N
W
⊥
+
удовлетворяет условию ортогональности, т. е.
(
)
T
1
1
L
L
N N
W W I
⊥ ⊥
+
+
=
.
(19)
B.
При выполнении условий существования решения задачи тер-
минального управления (17), (18) решение этой задачи имеет вид
следующего множества:
1
1
φ
R
N
N
u W x W
+
⊥
+
+
=
+
,
(20)
