УДК 517.95
Теорема типа Фрагмена — Линделефа для нелинейных
эллиптических уравнений высокого порядка
c
○
Г.В. Гришина
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
В полуцилиндре
=
{ ∈
R
: 0
< <
∞
,
′
∈
W
⊂
R
−
1
}
, где
= (
1
, . . . ,
) = (
′
,
)
,
W
— ограниченная область с липшицевой границей,
рассмотрено равномерно-эллиптическое уравнение с измеримыми ограниченными
коэффициентами
∑︁
|
a
|
=
|
b
|
=
a
(
ab
( )
|
|
−
2
b
) = 0
,
>
1
.
Получены интегральные оценки решения на бесконечности при условии выполнения
однородных условий Неймана на боковой части границы цилиндра.
Ключевые слова:
нелинейное эллиптическое уравнение, однородные условия
Неймана, интегральные оценки решений.
Впервые вопрос о поведении решения
( )
линейного эллиптиче-
ского уравнения высокого порядка
∑︁
|
a
|
=2
a
( )
a
( ) = 0
в цилиндре при заданных нулевых условиях Дирихле на боковой гра-
нице цилиндра был исследован П.Д. Лаксом [1]. Изучению поведе-
ния решений в неограниченных областях и их гладкости как для ли-
нейных, так и для нелинейных эллиптических уравнений посвящены
многие работы, например [2–7].
Рассмотрим уравнение
∑︁
|
a
|
=
|
b
|
=
a
(
ab
( )
|
|
−
2
b
) = 0
,
>
1
,
(1)
где
a
=
|
a
|
a
1
1
, . . . ,
a
;
=
{
a
:
|
a
|
=
}
;
= (
1
, . . . ,
)
∈ ⊂
R
;
a
,
b
— мультииндексы:
a
= (
a
1
, . . . ,
a
)
,
b
= (
b
1
, . . . ,
b
)
,
a
>
0
,
b
>
0
,
= 1
, . . . ,
,
|
a
|
=
a
1
+
. . .
+
a
,
|
b
|
=
b
1
+
. . .
+
b
.
Предположим, что коэффициенты
ab
( )
— действительные огра-
ниченные измеримые функции такие, что
∀ ∈
и
∀
x
∈
R
, где —
1
