Теорема типа Фрагмена — Линделефа для нелинейных эллиптических. . .
Теорема 2.
Пусть
( )
∈
,
( )
— обобщенное решение урав-
нения (1) в области , удовлетворяющее на боковой границе ци-
линдра
G
=
∩ {
0
< <
∞}
однородному условию Неймана,
и пусть
∫︁
|
|
<
∞
.
(3)
Тогда существуют
r
0
>
0
и положительные постоянные и
h
такие,
что
∀
r
>
r
0
выполняется условие
∫︁
∩{
>
r
}
|
|
6
−
hr
.
Доказательство теоремы 1 проводится в несколько этапов. При-
ведем лемму, играющую важную роль в дальнейшем, доказательство
которой почти очевидно.
Лемма 1.
Пусть
( )
∈
,
( )
— обобщенное решение уравне-
ния (1) в области , удовлетворяющее на боковой границе цилиндра
G
=
∩ {
0
< <
∞}
однородному условию Неймана, и при
r
→ ∞
выполнено условие (2) теоремы 1. Тогда существует последо-
вательность
r
→ ∞
такая, что
∫︁
∩{
=
r
}
|
|
′
= (1)
.
Доказательство леммы сводится к рассмотрению интеграла от
функции одной переменной
( ) =
∫︁
∩{
=
}
|
|
′
и проводится методом от противного.
Из теоремы 2 следует, что для решения
( )
достаточно уста-
новить справедливость оценки (3). Ключевую роль при этом будет
играть аналог формулы Грина, вытекающий из определения обобщен-
ного решения.
Лемма 2.
Пусть выполнены все условия теоремы 1, кроме усло-
вия (2). Тогда для любой функции
( )
∈
,
( )
и равной нулю
при
= 0
для почти всех
r
>
0
верна формула
∑︁
|
a
|
=
|
b
|
=
∫︁
∩{
0
< <
r
}
ab
|
|
−
2
b a
=
=
∑︁
=1
−
1
−
1
∑︁
|
a
|
=
|
b
|
=
∫︁
∩{
=
r
}
ab
|
|
−
2
b g
′
,
(4)
3
