Г.В. Гришина
где
g
= (
a
1
, . . . ,
a
−
1
,
a
−
)
.
Лемма 3.
Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда
∫︁
|
|
<
∞
.
(5)
Доказательство леммы 3 основано на тщательном выборе пробных
функций в формуле Грина (4) и на использовании сформулированных
выше утверждений.
Таким образом, для получения утверждения теоремы 1 достаточ-
ным является справедливость условия (5). Действительно, удается по-
казать, что для любого целого
>
0
выполнено неравенство
∫︁
∩{
>
r
+
}
|
|
<
1
∫︁
∩{
>
r
}
|
|
с постоянной
0
<
1
<
1
, не зависящей от .
Замечание 1.
Отметим, что в условии (2) теоремы 1 нельзя заме-
нить
(
r
)
на
(
r
)
.
Замечание 2.
Теорема 1 остается в силе, если задать на границе
однородные условия Дирихле.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Россий-
ского фонда фундаментальных исследований (проект 11-01-00989-а).
ЛИТЕРАТУРА
[1] Лакс П.Д. Теорема Фрагмена — Линделефа в гармоническом анализе и ее при-
ложения к некоторым вопросам теории эллиптических уравнений.
Математи-
ка
, 1959, т. 4, с. 107–132.
[2] Ландис Е.М. О поведении решений эллиптических уравнений высокого по-
рядка в неограниченных областях.
Труды Московского математического об-
щества
, 1974, т. 31, с. 35–58.
[3] Олейник О.А., Радкевич Е.В. Аналитичность и теоремы типа Лиувилля для об-
щих эллиптических систем дифференциальных уравнений.
Математический
сборник
, 1974, т. 95, № 1, с. 130–145.
[4] Антонцев С.Н. О локализации решений нелинейных вырождающихся эллип-
тических и параболических уравнений.
ДАН СССР
, 1981, т. 260, № 6, с. 1289–
1293.
[5] Bernis F. Extinction of the solutions of some quasilinear elliptic problems of
arbitrary order.
Proceedings of Symposia in Pure Mathematics
, 1986, vol. 45, part 1,
pp. 125–132.
[6] Гришина Г.В. Поведение решений нелинейной вариационной задачи в окрест-
ности особых точек границы и на бесконечности.
Математический сборник
,
1993, т. 184, № 3, с. 81–110.
[7] Тарба Л.А. О свойствах решений эллиптического уравнения высокого порядка
в областях с некомпактной границей.
Вестник Моск. ун-та. Сер. Матем. и
мех.
, 1981, № 6, с. 10–14.
Статья поступила в редакцию 20.06.2013
4
