Г.В. Гришина
число мультииндексов порядка длины , выполнены неравенства
n
|
x
|
6
∑︁
|
a
|
=
|
b
|
=
ab
( )
|
x
|
−
2
x
a
x
b
6
m
|
x
|
,
n
>
0
,
m
>
0
.
Введем некоторые обозначения и дадим определение обобщенного
решения уравнения (1).
Через
,
( )
обозначим пространство функций, принадлежа-
щих классу
,
(
∩ {| |
>
}
)
∀
>
0
. Символ
,
0
(
,
G
1
)
—
пополнение по норме
‖·
,
,
( )
‖
пространства функций из
∞
( )
,
обращающихся в нуль в окрестности части границы
G
1
⊆
и име-
ющих компактный носитель в области .
Определение.
Функция
( )
∈
,
( )
называется обобщенным
решением уравнения (1), удовлетворяющим на части
G
границы
области однородному условию Неймана, если
∀
y
∈
,
0
(
,
∖
G
)
справедливо интегральное тождество
∑︁
|
a
|
=
|
b
|
=
∫︁
ab
( )
|
|
−
2
b a
y
= 0
.
Исследуем поведение обобщенного решения уравнения (1) в бес-
конечном полуцилиндре
=
{ ∈
R
: 0
< <
∞
,
′
∈
W
⊂
R
−
1
}
,
где
= (
1
, . . . ,
)
,
′
= (
1
, . . . ,
−
1
)
,
W
— ограниченная область
с липшицевой границей.
Сформулируем основной результат настоящей работы.
Теорема 1.
Пусть
( )
∈
,
( )
— обобщенное решение урав-
нения (1) в области , удовлетворяющее на боковой границе ци-
линдра
G
=
∩ {
0
< <
∞}
однородному условию Неймана.
Предположим, что существуют локально суммируемые обобщенные
производные
g
(
|
g
|
= 2
−
1
,
g
1
+
. . .
+
g
−
1
6
)
и
ab
( )
для
6
−
1
. Тогда, если
∫︁
∩{
<
r
}
|
|
= (
r
)
,
r
→ ∞
,
(2)
то найдутся
r
0
>
0
и положительные постоянные и
h
такие, что
∀
r
>
r
0
выполняется условие
∫︁
∩{
>
r
}
|
|
6
−
hr
.
Теорема 1 является новой и для случая
= 1
.
Приведем теорему, вытекающую из результатов работы [6].
2
