Н.И. Юрасов
2
Дисперсионное уравнение.
Из уравнений Максвелла запишем
для выбранной геометрии задачи следующее волновое уравнение:
2
2
2
2
2
1
0,
E
E
z
c
t
(1)
где
E
— напряженность электрического поля электромагнитной вол-
ны (круговой поляризации);
z
— ось декартовой системы координат,
перпендикулярная граничной поверхности ФК;
— цилиндрические
компоненты диэлектрической функции;
c
— cкорость света.
Найдем решение уравнения (1) в виде
( , )
( , , )
,
i t ikz
E t z e k z e
(2)
где
( , , )
( , ) ,
1,
ingz
n
n
e k z
e k e i
2 ,
g
a
a
— параметр кри-
сталлической решетки;
круговая частота;
k
— волновой вектор.
Диэлектрическую функцию ФК разложим в ряд Фурье:
lg
( )
i z
l
l
z
e
,
lg
0
1 ( )
a
i z
l
z e dz
a
,
0, 1, 2, ... .
l
(3)
Из этого ряда используем слагаемые с номерами
0, 1
l
. После под-
становки решения (2) в уравнение (1) получим бесконечную систему
линейных уравнений для определения фурье-амплитуд
( , ),
n
e k
0, 1, 2, ...,
.
n
Ограничимся первым приближением, для кото-
рого выполнено условие
0, 1.
n
Имеем дисперсионное уравнение
6
4
2
2
4
6
( , )
0,
D k K a K a K a
(4)
2
2
4
2
0
0
4
0
1 1
0
3
2
2
4
6
0
1 0 1
0
1 1 0
0 0
3 2 ;
3 2
;
2
2(
)
,
a
g a
g
a
g
g
где
0
,
g a
— длина электромагнитной волны в вакууме.
Для СК имеем условия
0;
D
k
0,
D
которым соответствует обращение в нуль групповой скорости. Это
означает, что образуется стоячая волна внутри кристалла у поверхно-
сти, на которую падает волна из окружающей среды. Следовательно,
получили уравнение, дополнительное к дисперсионному уравнению,
а именно:
