УДК 514.7
О некоторых классах дифференциальных уравнений
в частных производных, допускающих бесконечные
серии симметрий и законов сохранения
c
○
Н.Г. Хорькова
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Рассмотрен метод построения бесконечных серий симметрий и законов сохране-
ния для систем дифференциальных уравнений в частных производных, имеющих
оператор рекурсии. Метод основан на линеаризации уравнений контактным пре-
образованием или с помощью накрывающих уравнений. Показано, что «линейная»
симметрия линейной системы дифференциальных уравнений порождает оператор
рекурсии, с помощью которого строится оператор рекурсии исходной нелинейной
системы. Применение методики вычислений продемонстрировано на примерах
уравнения минимальных поверхностей и уравнения Бюргерса.
Ключевые слова
:
системы дифференциальных уравнений в частных произ-
водных, локальные симметрии и законы сохранения, контактные преобра-
зования, оператор рекурсии, накрытия.
Введение.
В настоящее время многие процессы в физике, техни-
ке, биологии, экономике и других областях моделируются с исполь-
зованием систем дифференциальных уравнений в частных производ-
ных. Наличие симметрий и законов сохранения у исследуемой систе-
мы может помочь в решении разнообразных задач как теоретическо-
го, так и прикладного характера. Зная, например, симметрию уравне-
ния, можно попытаться найти инвариантное (автомодельное) решение
или размножить известные решения [1–3]. В некоторых случаях по-
лученные решения дифференциальных уравнений будут являться от-
ветом для рассматриваемой задачи, в других случаях такие решения
могут оказаться полезными при тестирования программ, используе-
мых для численного решения дифференциальных уравнений. Кроме
того, симметрии могут быть использованы для факторизации диффе-
ренциальных уравнений — процедуры, позволяющей свести исходное
дифференциальное уравнение к другому с меньшим числом перемен-
ных. Можно утверждать, что многие известные методы построения
точных решений дифференциальных уравнений являются следствием
наличия той или иной симметрии. Отметим также, что «полная ин-
тегрируемость» систем дифференциальных уравнений тесно связана
с наличием у системы бесконечных серий симметрий и законов сох-
ранения (см., например, [4]).
1
