О некоторых классах дифференциальных уравнений в частных производных
серии симметрий и законов сохранения (уравнение минимальных по-
верхностей является самосопряженным, так как получено из вариаци-
онного принципа) и записываем полученные объекты в координатах
на исходном уравнении (2), используя преобразования
(
( )
)
−
1
. Объ-
ем вычислений большой, но при необходимости предложенная схема
вычислений может быть реализована.
Для демонстрации некоторых технических приемов, сокращаю-
щих объем вычислений, докажем, что алгебра симметрий уравнения
минимальных поверхностей бесконечномерна, построив несколько
бесконечных серий симметрий этого уравнения. Уравнение мини-
мальных поверхностей инвариантно относительно группы вращений
трехмерного пространства. Рассмотрим вращения вокруг координатных
осей, дополним их до контактных преобразований
:
1
(
p
)
→
1
(
p
)
,
найдем соответствующие контактные поля (инфинитезимальные сим-
метрии), затем по формуле (1) вычислим их производящие функции,
которые являются линейными и будут определять операторы рекурсии
уравнения (3). Приведем результаты вычислений.
1.
Поворот в плоскости
(
,
)
. Контактное преобразование
:
1
(
p
)
→
1
(
p
) :
→
cos + sin
,
→ −
sin + cos
,
→
,
1
→
1
cos +
2
sin
,
2
→ −
1
sin +
2
cos
.
Контактное векторное поле:
0
=
−
+
2
1
−
1
2
.
Производящая функция:
y
=
−
1
+
2
.
Производящая функция симметрии линеаризованного уравнения
имеет вид:
3
0
=
1
−
2
.
2.
Поворот в плоскости
(
,
)
. Контактное преобразование
:
1
(
p
)
→
1
(
p
) :
→
cos + sin
,
→
,
→ −
sin + cos
,
1
→ −
sin +
1
cos
cos +
1
sin
,
2
→
2
cos +
1
sin
.
Контактное векторное поле:
1
=
− −
(1 +
2
1
)
1
−
1 2
2
.
Производящая функция:
1
y
=
−
1
−
.
5
