Н.Г. Хорькова
В настоящей работе изложен метод построения бесконечных се-
рий симметрий и законов сохранения с помощью оператора рекур-
сии для дифференциальных уравнений, которые можно преобразовать
в линейное уравнение: а) контактным преобразованием; б) с помощью
накрытия. В дальнейшем используются обозначения и терминология,
введенные в работах [1, 2, 5].
1. Операторы рекурсии линейных систем дифференциальных
уравнений.
Метод построения бесконечных серий симметрий и зако-
нов сохранения основан на лемме, представленной в работе [6]. При-
ведем эту лемму с уточнениями и кратким доказательством. Пусть
p
:
+
→
— векторное расслоение,
¯
и — векторные поля
на многообразиях
+
и соответственно. Пара
( ¯
,
)
называет-
ся
Der
-оператором в расслоении
p
, если для любой точки
∈
+
,
p
*
,
( ¯ ) =
p
( )
, где
p
*
,
— дифференциал отображения
p
, а —
значение векторного поля в точке . Отметим, что любое векторное
поле на многообразии
+
может быть поднято на пространство
джетов -го порядка
(
p
)
,
= 1
,
2
, . . . ,
∞
расслоения
p
[1]. Подня-
тие векторного поля на пространство джетов
(
p
)
обозначим
( )
.
В локальных координатах
(
,
)
на многообразии
+
( — коор-
динаты на базе расслоения ; — координаты в слое проекции
p
)
Der
-оператор
( ¯
,
)
имеет вид
¯ =
∑︁
a
( ) +
∑︁
b
(
,
)
,
=
∑︁
a
( )
.
Производящей функцией векторных полей
¯
( )
является вектор-
функция
3
= (
3
1
, . . . ,
3
)
, где
3
= ¯
y
= ¯
y
(︁
−
∑︁ )︁
=
b
(
,
)
−
∑︁
a
( )
,
= 1
, .
(1)
Лемма 1.
Пусть
ℰ
:
= 0
— линейная система в векторном рас-
слоении
p
:
+
→
. Пусть пара
( ¯
,
)
—
Der
-оператор в рас-
слоении
p
, причем векторное поле
¯
(
∞
)
является инфинитезималь-
ной симметрией системы и производящая функция этой симметрии
3
= (
3
1
, . . . ,
3
)
линейна по переменным . Тогда существует набор
функций
= ( )
,
∈
∞
( )
таких, что
[ ¯
,
¯
3
] =
∘
¯
, где
¯
—
оператор универсальной линеаризации, отвечающий функции (че-
рта обозначает ограничение оператора на бесконечно продолженное
уравнение
ℰ
∞
).
Приведем схему доказательства этой леммы. Так как функции
и
3
линейны по переменным
s
(
∅
=
), операторы универсальной
линеаризации и
3
являются поднятиями на многообразие
∞
(
p
)
2
