Н.Г. Хорькова
y
[1]: должен существовать самосопряженный оператор
∇
, для кото-
рого выполнено равенство
¯
y
+ ¯
△
*
= ¯
∇ ∘
¯
, где
¯
*
(
y
) =
△
( )
.
Найдем сначала оператор
△
:
¯
*
(
y
) =
−
¯
(︀
¯
2
( )
)︀
= ( ¯
−
¯ )
(︀
¯
2
( )
)︀
=
= ¯
2
( ¯
−
¯ )( ) = ¯
2
(
−
) =
−
¯
2
( )
.
Следовательно,
△
=
−
¯
2
,
△
*
=
−
( ¯
*
)
2
=
−
¯
2
и
¯
y
+ ¯
△
*
= ¯
¯
2
( )
−
¯
2
= ¯
2
−
¯
2
= 0
.
Отметим, что для функций
¯
2 +1
( )
критерий не выполняется.
2. Построение операторов рекурсии для уравнений, линеари-
зуемых контактным преобразованием, на примере уравнения ми-
нимальных поверхностей.
Построение бесконечных серий симметрий и законов сохранения
для нелинейных дифференциальных уравнений, которые можно тем
или иным способом линеаризовать, основано на результатах, получен-
ных в разд. 1. В этом разделе будет рассмотрен случай линеаризации
уравнения с помощью контактного преобразования, в следующем —
с помощью накрытия. Методику вычислений продемонстрируем на
примерах конкретных уравнений.
Уравнение минимальных поверхностей
(1 +
2
)
−
2
+ (1 +
2
) = 0
(2)
можно линеаризовать с помощью преобразования Лежандра
:
1
(
p
)
→
1
(
p
) :
¯ =
−
,
¯ =
−
,
¯ =
− −
,
¯ =
,
¯ =
.
Для преобразования вторых производных надо построить первое
продолжение
(1)
:
2
(
p
)
→
2
(
p
)
, что сделать возможно, посколь-
ку преобразование Лежандра является контактным преобразованием.
Методика построения
(1)
приведена в монографии [1]. Производные
второго порядка (для них используются стандартные обозначения ,
, ) преобразуются по следующим формулам:
¯ =
− −
2
,
¯ =
−
2
,
¯ =
− −
2
.
В результате преобразований получим линейное уравнение (чер-
точки опустим)
(1 +
2
) + 2
+ (1 +
2
) = 0
.
(3)
Дальнейшая схема действий ясна: находим линейные классиче-
ские симметрии уравнения (3), строим операторы рекурсии, получаем
4
