по радиальной координате
r
в пределах от
r
c
до
∞
с учетом соотно-
шения (1) и значений давления
p
в жидкости при
r
=
r
c
и
r
→ ∞
,
приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению второго
порядка для текущего радиуса полости
ρ
0
r
c
d
2
r
c
dt
2
+
3
2
dr
c
dt
2
!
=
−
p
e
,
которое после понижения порядка сводится к
dr
c
dt
2
=
r
c
0
r
c
3
v
2
c
0
+
2
3
p
e
ρ
0
−
2
3
p
e
ρ
0
.
Вводя безразмерные радиус полости
r
0
c
=
r
c
/r
c
0
и время
t
0
=
tv
c
0
/r
c
0
,
последнее соотношение переписываем в виде
dr
0
c
dt
0
=
±
s
1 +
β
1
r
0
3
c
−
β
1
,
(2)
где знак “
+
” соответствует стадии расширения полости, а знак “
−
” —
стадии ее последующего захлопывания. Входящий в (2) безразмерный
параметр
β
1
зависит от значения противодавления
p
e
в жидкости и
определяется как
β
1
=
2
3
p
e
ρ
0
v
2
c
0
.
Используя рассмотренную задачу о расширении в жидкости сфе-
рической полости для расчета формы образующейся за телом кавер-
ны, дополнительно примем следующие допущения [9]. Будем считать,
что после отрыва потока от поверхности тела относительная скорость
движения жидкости в осевом направлении равна скорости тела
v
0
, а
радиальное движение границы каверны в различных поперечных се-
чениях происходит так же, как при инерционном расширении сфери-
ческой полости с начальным радиусом
r
c
0
, соответствующим радиусу
поперечного сечения тела в точке отрыва, и с начальной скоростью
v
c
0
, соответствующей радиальной компоненте скорости частиц жид-
кости в точке отрыва (рис. 4,
б
). Описывая форму каверны в системе
отсчета, связанной с движущимся телом, осевую координату
z
c
будем
отсчитывать от сечения, в котором происходит отрыв потока от по-
верхности тела. Время эволюции каждого поперечного сечения кавер-
ны от момента начала его инерционного расширения при этом будет
определяться, как
t
=
z
c
/v
0
. Переходя в уравнении (2) с учетом данной
взаимосвязи от дифференцирования по
t
0
к производной по
z
0
c
=
z
c
/r
c
0
,
получаем следующее дифференциальное соотношение, описывающее
142
1,2,3,4,5 7,8,9,10,11