Page 4 - Метод байесовских оценок в задаче лазерного оптико-акустического газоанализа
Basic HTML Version
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Приборостроение». 2012
103
нельзя задать или отдать предпочтение какой-либо функции потерь,
то оценка решения определяется из условия максимума апостериор-
ной плотности вероятности
(
).
p n
y
Если апостериорная плотность
вероятности
(
)
p n
y
унимодальна и симметрична, то полученная (из
условия максимума апостериорной плотности вероятности) оценка
одновременно является байесовской оценкой.
Построение байесовской оценки для
K
-мерного вектора концен-
траций газов
n
будем проводить при следующих предположениях.
1. Шум измерения
подчиняется нормальному распределению,
некоррелирован с
y
и имеет нулевое среднее значение и корреля-
ционную матрицу .
V
2. Априорное распределение искомого вектора
n
также является
нормальным со средним значением
0
n
и корреляционной матри-
цей
0
.
N
3. Матрицы
V
и
0
.
N
обратимы.
При сделанных предположениях [4] апостериорное распределе-
ние
(
)
p n y
также является нормальным и байесовская оценка
б
n
вектора
n
совпадает с оценкой, определяемой из максимума апосте-
риорной плотности вероятности, и находится из следующего урав-
нения:
1
т 1
т 1
1
0
б
0 0
(
)
.
N K V K K V N
n
y n
(6)
Здесь верхний индекс «т» означает транспонированную матрицу,
верхний индекс «–1» — обратную матрицу.
Матрица системы уравнений (6) размерностью
K K
положи-
тельно определена, и поэтому для любого вектора
y
существует
единственная байесовская оценка
б
n
[4].
Отметим, что устойчивость полученного решения достигается
сужением класса возможных решений, и это сужение основано на
априорной информации об искомом решении. В качестве априорной
информации здесь задается априорное нормальное распределение
искомого решения и два его первых момента. Такая априорная ин-
формация может быть вполне доступна при решении многих задач,
например, при рутинном газоанализе.
Для проверки работоспособности метода байесовских оценок
проводили обработку данных измерений ЛОАГ (ЛОАГ на основе пе-
рестраиваемого
2
CO -лазера низкого давления и нерезонансной изме-
рительной ячейки описан в работе [3]) для газовых смесей с числом
компонентов от трех до шести.
