изменятся, а координата
z
будет равна нулю. Полученные для всех
слоев на плоскости
XOY
фигуры оказываются достаточно выпукл-
ыми, чтобы выполнялось условие: все отрезки, соединяющие узлы с
центром тяжести фигуры, не пересекают ее границы. Этого нетрудно
добиться соответствующим разбиением на слои. Координаты центра
тяжести фигуры — проекции
j
-го слоя — определяем по формулам
x
цт
j
=
1
m
j
m
j
X
i
=1
x
i
, y
цт
j
=
1
m
j
m
j
X
i
=1
y
j
.
(8)
Далее фигуру мысленно разбиваем на
m
j
треугольников, вершинами
которых поочередно являются пара узлов и центр тяжести фигуры.
Площадь фигуры равна сумме площадей всех треугольников, а пло-
щадь каждого
i
-го треугольника определяется по формуле
S
i
=
1
2
x
цт
y
цт
1
x
1
i
y
1
i
1
x
2
i
y
2
i
1
=
=
1
2
[
x
цт
y
1
i
−
x
2
i
y
1
i
+
x
2
i
y
цт
+
x
1
i
y
2
i
−
x
цт
y
2
i
−
x
1
i
y
цт
]
.
(9)
Площадь проекции
j
-го слоя будет
S
j
=
m
j
X
i
=1
S
i
.
(10)
Строго говоря, из суммарной площади
S
j
необходимо вычесть поло-
вину площадей теней стержней, образующих границу
j
-го слоя, так
как граничные стержни в равной степени затеняют как пространство
внутри цилиндрической поверхности
Φ
j
, так и пространство вне
Φ
j
.
Определение коэффициентов
p
j
k
i
.
При рассмотрении затенения
стержней каждым отдельным слоем возможны три случая: когда про-
екция стержня на плоскость
XOY
находится внутри проекции слоя,
полностью снаружи и когда пересекает границу, находясь частично
внутри и частично снаружи. Для определения того, какой вариант
затенения реализуется в каждом конкретном случае, организуем сле-
дующую процедуру. Для каждого узла стержня с координатами
x
с
, y
с
определяем, находится ли его проекция на плоскость
XOY
внутри
какого-либо треугольника, на которые разбивалась проекция
j
-го слоя
при определении ее площади. Для
i
-го треугольника эта точка лежит
внутри только в том случае, если все определители
Δ
1
=
x
с
y
с
1
x
1
i
y
1
i
1
x
2
i
y
2
i
1
,
Δ
2
=
x
с
y
с
1
x
2
i
y
2
i
1
x
цт
y
цт
1
,
Δ
3
=
x
с
y
с
1
x
цт
y
цт
1
x
1
i
y
1i
1
(11)
будут больше нуля. Далее, если оба узла стержня окажутся внутри
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
19
1,2,3,4 6,7