Стр. 4 - Ю.И. Димитриенко, А.П. Соколов - Исследование процессов разрушения композиционных материалов на базе метода асимптотической гомогенизации

104 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
в этой задаче являются функции 1-го уровня ui
(1)( –xj, ξk), зависящие от
«медленных» –xj и «быстрых» ξk координат, а функции нулевого уров-
ня ui
(0)( –xj) так же, как и –εij, рассматриваются в этой задаче в качестве
известных исходных данных. Определить ui
(0)( –x j) и –εij поможет осред-
ненная система уравнений [7, 12–14].
В [7] было установлено, что локальная задача теории упругости
имеет единственное решение в классе периодических функций при
обязательном выполнении условий нормировки. Эта задача может
быть решена с использованием методов конечных элементов с учетом
удовлетворения граничным условиям специального вида. Известны
работы, в которых методы гомогенизации применялись для двухуров-
невых иерархических структур [9–11]. В настоящей работе сделана
попытка обобщить модель на случай произвольного числа взаимосвя-
занных уровней.
При использовании идеи введения разномасштабных координат
предложен метод многоуровневой асимптотической гомогенизации
(МАГ) для МИС с произвольным числом уровней, а также матема-
тическая модель МИС, представляющая древовидную структуру свя-
занных ЯП (рис. 2).
Задача была сведена к решению рекурсивно вложенных друг
в друга локальных задач теории упругости на ЯП разных структур-
ных уровней модели МКМ:
{ }
( )
{ }
( )
{ }
( )
{ }
( )
{ } { }
( )
{ }
( )
{ }
( )
{ }
( )
{ }
( )
{ } { }
( )
0
, 1
0 0
0 1 1
0 1
1 1
0, , ;
;
2 2 ;
0, 0, ;
0, 0,
n n n n n
n n
T
n n n n n n
n n n n n
n n
n
V m
C
u u
h
u u
γ α γ
γ γ
γ α γ γ
γγ γ γ
γ γ
α
σ ξ γ
σ ε
ε ε
σ σ ξ
−
′
∇ = ∈ ≤
=
= + ∇ ⊗ + ∇ ⊗
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = ∈Σ
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
(2)
где n – номер структурного уровня, γ – номер компоненты в ЯП α на
n-м структурном уровне, γ' ≤ mnα. Для решения локальных задач тео-
рии упругости n-го структурного уровня применяли модифицирован-
ный метод конечных элементов, который сводится к решению серий
стандартных задач статики с классическими граничными условиями,
обозначенными как Lpq (рис. 3).
Для определения эффективных упругих характеристик композита
использовались эффективные определяющие соотношения, включа-
ющие решения задач Lpq (псевдоперемещения Ui
α
( pq) и псевдонапря-