Стр. 10 - Ю.И. Димитриенко, А.П. Соколов - Исследование процессов разрушения композиционных материалов на базе метода асимптотической гомогенизации
Упрощенная HTML-версия
110
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
пересчета компонент тензора модулей упругости
C
ijkl
(
γ
), зависящих от
угла анизотропии волокон, определяемого заранее заданной его обра-
зующей. Для такого учета был разработан специализированный про-
граммный модуль, который связал локальную физическую систему
координат «прямого» волокна с глобальной для искривленного. С ма-
тематической точки зрения, осуществлялось преобразование компо-
нент тензора
n
-го ранга при замене ортонормированного базиса
e
i
1
...
...
e
in
на криволинейный
R
i
1
…
R
in
:
где
использовалось правило Эйнштейна (
n
-кратная сумма),
P
=
Q
–1
– ма-
трица, обратная к матрице Якоби, и
1 2...
n i i
in
Ω
,
– компоненты
тензора
n
ранга в старом и новом базисах соответственно. Решение за-
дач
L
pq
в трехмерной постановке осуществлялось с помощью метода
конечных элементов.
2. Вычисление эффективных упругих модулей композита.
3. Вычисление компонент тензора концентрации напряжений
( )
( )
,
ijkl
s
ijpq s
pqkl
B
C
α
ξ
ξ
=
Π
связывающих напряжения в компонентах
композита с осредненными напряжениями:
.
ij
ijkl kl
B
α
σ
σ
=
(3)
4. Определение прочностных свойств материалов. Часто на прак-
тике прочностные свойства материалов определяют на базе решения
задач о напряженно-деформированном состоянии (НДС) с учетом
возможного разрушения при выполнении критерия прочности, в ка-
честве которого использовался тензорный квадратичный критерий
прочности Гольденблата – Копнова или Цая – Ву [12, 13, 15]. Разру-
шение в точке ξ
*
s
наступает при выполнении соотношения
( )
( )
( )
( )
( )
*
( ) ( )
*
( ) ( )
* ( )
*
1
1;
2
,
1...6,
s
i
i
s
ij
i
s
j
s
f
S
S
i j
α
α
α
α
α
α
ξ
σ
ξ
σ
ξ σ
ξ
=
+
=
=
(4)
где
S
ij
(
α
)
,
S
i
(
α
)
– матрицы и векторы констант прочности
α
-й компоненты
композита (заданы и определяются на базе пределов прочности на растя-
жение
σ
τ
, сжатие
σ
c
, сдвиг
σ
s
).
Подставляя (3) в (4), получим
(
)
( )
( ) ( )
( )
* *
( )
*
*
( )
*
*
*
*
,
( )
1
( ) ( ) 1,
2
s
i
ij
s
j
ij
ik s
jl
s
k
l
f
t
S B
t
S B B
t
t
α
α
α
ξ
ξ σ
ξ
ξ σ
σ
=
+
+
=
(5)
где
t
*
– момент времени разрушения компоненты композита в точке
ξ
s
*
.
