Стр. 2 - Ю.И. Димитриенко, А.П. Соколов - Исследование процессов разрушения композиционных материалов на базе метода асимптотической гомогенизации

102

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012

Математическая постановка задачи

.

Большинство КМ имеет

сложную гетерогенную внутреннюю микроструктуру, распространя-

ющуюся на несколько масштабных уровней как для наполнителей, так

и для матриц (например, комплексные нити, моноволокна, фибриллы

и пр.). Для описания напряженно-деформированного состояния кон-

струкций из таких материалов было введено понятие многоуровне-

вой иерархической структуры (МИС) композита. Оно предполагает,

что компоненты рассматриваемой модели КМ, в свою очередь, могут

быть также композитами и т. д. (рис. 1).

В основе используемого в работе численного алгоритма лежит

метод осреднения гетерогенных периодических структур (замена

гетерогенного материала на однородный, т. е. гомогенизация) – ме-

тод асимптотического осреднения (МАО), или метод гомогенизации

(МГ), предложенный в работах Бахвалова Н.С. [7] и Победри Б.Е. [7,

8]. Данный метод был адаптирован для МИС в сочетании с методом

конечных элементов. Метод гомогенизации основан на введении двух

масштабных координат [7–11] («быстрых» и «медленных») и позво-

ляет численно найти эффективные характеристики (ЭХ) (в работе

рассматривались механические) композита с помощью решения спе-

циальных «локальных задач теории упругости на ячейке периодич-

ности» (ЯП), в основе которых лежит система уравнений равновесия,

соотношения Коши и обобщенный закон Гука:

(

)

(0)

/

(0)

(1)

/

(0)

0;

1

;

2

;

ij j

kl

k l

l k

ij

ijkl kl

u u

C

σ

ε

σ

ε

⎧ =

⎪

⎪ = +

+

⎨

⎪

⎪ = ⎩

(1)

где

σ

ij

,

ε

kl

– компоненты тензоров напряжений и деформаций соответ-

ственно в ячейке периодичности

V

ξ

; –

ε

kl

– средние деформации, опреде-

ляемые как

(0)

,

2

;

ij

i j

j i

u u

ε

= +

C

ijkl

– компоненты тензора модулей упру-

гости материала;

n

= ∂/∂ξ – производные по «быстрым» координатам

[7]. Система (1) дополняется специальными граничными условиями

периодичности для перемещений

u

i

(1)

и вектора напряжений

σ

ij

(0)

h

j

:

[

u

i

(1)

] = 0, [

σ

ij

(0)

]

h

j

= 0, условиями идеального контакта (по силам и пере-

мещениям) на границе раздела Σ

ξαβ

, компонентов

α

и

β

в модели ячей-

ки периодичности: [

σ

ij

(0)

]

h

j

= 0, [

u

i

(1)

] = 0,

h

– вектор нормали, и услови-

ями нормировки:



u

i

(1)



= 0 [12–14].

В результате была получена локальная задача теории упругости,

называемая также задачей на ячейке периодичности. Неизвестными