6 / 11
Е.А. Губарева, Т.Ю. Мозжорина, А.Н. Щетинин
6
0 1
,
t
t
(15)
где
0
,
1
— некоторые заданные постоянные. Тогда интегральное
уравнение (14) после перехода к безразмерным величинам
*
/ ;
q kq
20 10
/
;
t Vt h h
0
0 10 20
/
,
h h
1 1
/
V
(16)
(штрихи далее опускаем) и комплексам
* 20 1 10 2
1 2 10 20
;
h h
a
k
h h
2
2
* 2 20 10 1 10 20
;
b V h h h h
(17)
2
2
* 2 20 10 1 10 20
;
c V h h h h
2 10 1 20 10 20
2
,
d
h h h h
1 2 *
h l l
примет вид
1
0 1
2
0
1 exp
( )
.
1 exp
t
*
*
b
k q
qa
h m q d
t
τ
k q
d c
τ
(18)
Интегральное уравнение (18) эквивалентно дифференциальному
уравнению
1 2
1
2
2
1
2
2 1
1
2
1
k k q
k q
k q
k q
bk d c e
bck e
bc k k e
aq
q hm q
d c e
(19)
при начальном условии
1
0
0
2 0
1 exp
,
1 exp
*
*
k q
b
q a
τ
k q
d c
τ
(20)
где
0
q
— начальное безразмерное контактное давление.
Решения для специальных случаев.
Рассмотрим случай, когда
0
q
мало, и будем считать, что в рассматриваемом диапазоне времени
давление
( )
q t
также мало. Линеаризуя соотношения (18) и (19), имеем
1
1 1
/
;
q a bk d qhk
0
1 2 0
/
.
q a bk ck
(21)
Отсюда при
1
/
a bk d
следует, что
0
1 2
1
1
1
1
1
1
1
/
exp
.
/
/
bk ck
hk t
q
hk
a bk d hk
a bk d
(22)