4 / 11
А.А. Гурченков, Н.Т. Вилисова, И.М. Герман, А.М. Романенков
4
Найдем вторую производную функции Гамильтона по перемен-
ной
h
и обозначим ее через
:
F
2
3 2
2
2
( 1)
.
W
H F
h
h
(16)
Подберем значение
h
таким образом, чтобы функция Гамильто-
на принимала максимальное значение. Для этого, как известно, необ-
ходимо потребовать отрицательность второй производной в стацио-
нарной точке.
Введем разбиение отрезка [0; 1] на конечное число частей
, 1, ,
i
x i
N
, которые имеют одинаковую длину. Далее рассмотрим
значение
F
в концевых точках каждого отрезка разбиения. Обозна-
чим
i
F
— значение функции
F
в точке разбиения
i
.
Если
0
i
F
, то новое значение функции
ˆ
i
h
в точке
i
не изменя-
ется
ˆ(
)
i
i
h x
. Если
0
i
F
, то новое значение функции
ˆ
i
h
в точке
i
подбираем таким образом, чтобы функция
H
принимала максималь-
ное значение:
min
min
max
max
min
max
, если
;
, ес
ˆ
ли
.
i
h
H h H h
h
h
H h H h
(17)
Таким образом, сформулирован алгоритм построения функции
( )
h x
, которая является решением задачи (1)–(4).
Рассмотрим примеры численных решений, которые выполнены в
программном комплексе, разработанном с помощью пакета MatLab.
Пример 1
.
( ) 1.
q x
Балку нагружаем равномерно распределен-
ной нагрузкой
q
. Решение вариационным методом представлено на
рис. 1. Решение этой задачи с использованием принципа максимума
Понтрягина при
q
(
x
) ≡ 1 показано на рис. 2. По горизонтали на рис.
1 и 2 отложена координата
x
от 0 до 1; по вертикали — функция
прогиба балки
( )
W x
, толщина балки
( )
h x
, а также зависимость
функционала
J
от числа итераций.
Отметим, что с помощью разработанной программы найдена
функция прогиба и толщины балки. Модуль разности между функ-
ционалами, которые рассчитаны вариационным методом и методом,
основанным на принципе максимуме Понтрягина, равен
0, 01
J
.
Пример 2.
( ) 4 cos( ) 1
q x
x
. Балка нагружена неравномерно.
Решение вариационным методом представлено на рис. 3. Решение
той же задачи с использованием принципа максимума Понтрягина
представлено на рис. 4. По горизонтали на рис. 3 и 4 отложена коор-