3 / 11
Упругие балки минимального веса, при наличии нескольких видов изгибающих нагрузок
3
Принцип максимума Понтрягина.
Теперь считаем толщину
балки управляющей функцией, на которую поставлены ограничения,
( )
,
,
min max
h x h h
и будем рассматривать задачу (1)–(4) как задачу оптимального
управления.
Следуя [10–12], перейдем от дифференциального уравнения чет-
вертого порядка (1) с помощью последовательных замен к системе
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Из
(2) получим краевые условия для системы обыкновенных дифферен-
циальных уравнений
1
2
3
2
1
1
3
4
2
2
4
5
1
;
;
0
1 0;
;
0
1 0.
;
;
x
x
x
x
x
W W
W W
W W
h
W W W W
W q
W qW
(10)
Согласно принципу максимума Л.С. Понтрягина [13–18], выпи-
шем функцию Гамильтона и сопряженную систему для задачи опти-
мального управления:
3
1 2
2
3 4
4
5 1
;
W
H h W
W q qW
h
(11)
1
5
2
1
2
3
4
3
5
;
;
;
;
0;
x
x
x
x
x
q
h
(12)
3
3
4
4
(0)
(1)
(
0.
0)
(1)
(13)
Отметим, что оптимальное управление доставляет максимум
функции Гамильтона. Определим стационарные по
h
точки функции
Гамильтона:
3 2
1
1
0;
W H
h
h
(14)
1
3 2
.
h
W
(15)