Интервальные доверительные оценки для показателей качества бинарных классификаторов - ROC-кривых, AUC для случая малых выборок

8 / 15

С.Ю. Гуськов, В.В. Лёвин
8
так как сумма
1
N
jN
j
  независимых пуассоновских случайных вели-
чин ~ ( )
jN jN np   также имеет распределение Пуассона с парамет-
ром
1
.
N
jN
j
np n

 
В то же время
   
1
1
*
1
1
1
1 ! ,
N
N n n
N
jN
j
B n n e
P n

 

 
     
 
 
   
   

что и требовалось доказать.
П р и м е ч а н и е 1. Необходимо отметить, что случайный вектор
1 , ..., N N NN
n n n
    
  
 
представляет собой гистограмму, построенную по
группированным наблюдениям. Таким образом, множество
1 2 ( , , ..., )
N N N NN D p p p есть точное доверительное множество для гисто-
граммы, которая является оценкой плотности распределения.
П р и м е ч а н и е 2. Пусть n — число наблюдений, а N — число
интервалов группировки. При заданных n, ε, ε1 подходящее N можно
выбрать по формуле
1 ln (1 ) ln ln ( !) 1.
ln (1 )
n n n n
N
      
 
 
 
 
П р и м е ч а н и е 3. В формуле (2) для каждого jN p можно за-
дать свой уровень значимости j  и получить соответствующий дове-
рительный интервал для jN p с уровнем доверия 1 ,
j j    
1, 2, ..., . j N 
Утверждение 2. Оценки ( )
GN F z , ( )
BN F z при N  и
1 2 0 n cc
N
     при некоторых константах 1 , c 2 c являются асимп-
тотически несмещенными и асимптотически состоятельными оценками
соответственно для ( ),
G F z ( )
B F z .
Доказательство. Математическое ожидание оценок
 
[ ] 1 [ ] 1
( ) ( )
( )
1
( )
1
1 1 1
( ) ,
Nz Nz
G B G B
G B jN jN
j j
G B N
Nz
z E np F
n n N
EF
 
 
  
    
 
  
и в силу непрерывности функций ( )
G F z и ( )
B F z