1
УДК 519.6, 531.66, 532.516
Энергетический спектр в одной задаче
о квантовом ротаторе
© А.А. Гурченков, Д.В. Башкина, Н.Т. Вилисова
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Исследован спектр собственных значений квантовых систем, допускающих в клас-
сическом пределе существование квадратичных по импульсам первых интегралов.
В качестве примеров рассмотрена задача о двумерной потенциальной яме конечной
глубины и квантовом ротаторе.
Проведено сопоставление бифуркаций в классической и квантовой задачах. Пока-
зано, что наличие дополнительного первого интеграла накладывает лишь частич-
ный запрет на существование сепаратрисных контуров. Выявлена алгебраическая
структура классических интегралов, которая предопределяет возможность приве-
дения функции Гамильтона к лиувиллевскому типу и разделению переменных в урав-
нении Гамильтона – Якоби, что влечет за собой разделение переменных в уравнении
Шредингера.
Ключевые слова:
динамические системы, бифуркации, гамильтоновы системы.
Введение.
Настоящая работа посвящена нахождению и исследова-
нию зависимости спектра собственных значений энергии в квантовом
ротаторе от параметра семейства потенциалов. Прикладной интерес
к рассматриваемой задаче определяется тем, что имеется некоторое
число физически содержательных моделей, приводящих к необходи-
мости исследования задачи о квантовом ротаторе. Достаточно упомя-
нуть о движении двухатомной молекулы под действием поля, линейной
молекулы, сцепленной одним из концов с поверхностью раздела двух
фаз и т. д. Теоретический интерес поставленной задачи определяется
также возможностью сопоставления полученных результатов с ранее
выполненными исследованиями бифуркаций в соответствующей клас-
сической задаче [1–4].
Квантовый ротатор описывается уравнением Шредингера, опре-
деленном на единичной сфере, поэтому в общем случае задача опре-
деления спектра собственных значений энергии представляет собой
двумерную задачу на собственные значения, решение которой вызы-
вает трудности как в вычислении, так и в построении классифика-
ции полученных решений. Помимо двумерности задачи это вызвано
еще и тем, что для ответа на поставленные в работе вопросы возни-
кает необходимость исследования нескольких десятков собственных
функций. В данной публикации исследуется многопараметрическое
семейство потенциалов, которое допускает разделение переменных
