Моделирование тепловых процессов идеального термокатода…
5
дят к необходимости либо решать их с использованием средств ин-
формационных технологий, либо упрощать задачу. В настоящее вре-
мя существует большое количество прикладных математических
программ, позволяющих решать дифференциальные уравнения раз-
ной степени сложности. Наиболее часто используемой является
MathCad.
В качестве математической модели процесса разогрева тер-
моэмиссионного катода можно использовать одномерное уравнение
теплопроводности для тонкого стержня конечной длины, которое
можно записать в виде [4]
2
4 4
н
1
0
2
0
2
,
S
T
T
P
k T T k T T
t C
SC l
x
(5)
где
1 2
,
k k
— коэффициенты;
T
— температура катода;
0
T
— темпе-
ратура окружающей среды. Первые три члена в правой части уравне-
ния обусловлены тепловыми потерями в держателях катода вслед-
ствие лучистого теплообмена и теплопроводности газа соответствен-
но, а четвертый — мощностью накала.
Рассмотрим численное решение уравнения (5), когда можно пре-
небречь влиянием лучистого теплообмена и теплопроводности газа.
В этом случае имеем
2
н
2
.
S
T
T P
t C
SC l
x
(6)
Для решения дифференциальных уравнений в частных производ-
ных в MathCad имеется опция
0
0
Pdesolve , ,
, ,
,
,
,
x t
u x
t
N N
L T
где
( , )
u x t
— искомая функция;
(0, )
L
— отрезок по оси ,
x
на кото-
ром ищется решение;
(0, )
T
— отрезок по оси
,
t
на котором ищется
решение;
,
x t
N N
— число точек разбиения отрезков
(0, )
L
и
(0, )
T
соответственно.
Обратим внимание на следующие особенности опции Pdesolve:
уравнение в частных производных записывается с помощью бу-
левых знаков равенства;
все функции и производные должны определяться как функции
двух переменных;
в качестве граничных условий в точках
0
и
L
можно использо-
вать как условия Дирихле, так и условия Ньюмана;
